Нелинейные модели

Различают 2 класса нелинейных регрессий:

· 1 класс: регрессии линейные по оцениваемым параметрам

® равносторонняя гипербола у^т = a+b/x

® полулогарифмическая чистая модель у^т = a+b*lnx

® модель с квадратным корнем у^т = a+b√x

Регрессии 1 класса приводятся к линейному виду простой заменой переменных, например, в модели с √ - у^т = a+b√x заменим √x на яб тогда система уравнений примет вид

· 2 класс: регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам

® показательная у^т = a+b^х

® степенная у^т = a+x^b

® экспоненциальная у^т = e^a+bx (е – экспонента = 2,71)

Регрессии 2 класса приводятся к линейному виду с помощью различных преобразований – логарифмирование, а некоторые модели к линейному виду не приводятся.

Среди нелинейных регрессий наиболее часто используется степенная модель

у^т = a+x^b, это связано с тем, что параметры в этой модели являются коэффициентами эластичности.

Коэффициент эластичности показывает на сколько % изменится результат при увеличении фактора на 1%.

Например, у – себестоимость (руб/ц), х – урожайность (ц/га), Э=-0,4%, т.е. себестоимость уменьшится на 0,4% при увеличении урожайности на 1%.

Уравнение нелинейной регрессии дополняется коэффициентом корреляции, который определяется по формуле: r изменится от 0 до 1.

Коэффициент детерминации d=r²*100%

Коэффициент детерминации по линейной и нелинейной моделям сравниваются между собой, близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную модель. Для оценки значимости уравнения регрессии используют F-критерий Фишера, для оценки качества среднюю ошибку аппроксимации, формулы которых аналогичны линейной модели.

Примеры:

1) В результате изучения зависимости расходов на продукты питания (у, тыс. руб) и доходов (х, тыс.руб) по совокупности семей были получены следующие данные:

№	Модель	Коэффициент d	Средняя ошибка аппроксимации
	Линейная ут = 1,460+0,375х	88,7%	8,5%
	Модель с корнем ут = -3,219+2,685√x	91,4%	7%
	Полулогарифмическая ут = -5,172+4,580lnx	93,3%	5,9%

Наилучший, т.е наиболее точно описывающей зависимостью между исходными данными считается та модель, у которой наибольший в и наименьшая ошибка. Это 3 модель.

Если расходы составляют 13,5 тыс. руб., то расходы на продукты питания составят: у^т = -5,172+4,580ln13,5(2,6) = 6,750 тыс. руб.

2) По совокупности предприятий, производящих однородную продукцию была изучена зависимость себестоимости единицы продукции (у) от следующих факторов:

№	Факторы	Уравнение регрессии	Среднее значение фактора
	Объем производства (млн. руб.) х1	=0,62+58,74/х
	Трудоемкость единицы продукции (чел/часов) х2	=9,30+9,83х2
	Оптовая цена за 1 т энергоносителя (млн. руб.) х3	=11,75*

Определить с помощью коэффициента эластичности силу влияния каждого фактора на результат, ранжировать факторы по силе влияния.

Для уравнения равносторонней гиперболы =0,62+58,74/х (=а+b/х)

Коэффициент эластичности определяется

Для уравнения прямой линии =9,30+9,83х₂ (=а+bх₂)

Для степенной модели =11,75* (=а*)

Для формирования уравнения себестоимости продукции первоочередное значение имеют факторы – цена на энергоносители (х₃), в гораздо меньшей степени влияет трудоемкость продукции (х₂).

Фактором уменьшающим себестоимость выступает объем производства (х₁), так как с увеличением его на 1% себестоимость уменьшится на 0,973%.