Определение максимального значения

Пример. В ресторане готовятся фирменные блюда трех видов
(блюдо А, блюдо В и блюдо С) с использованием при приготовлении ингредиентов трех видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и
ингредиент 3). Расход ингредиентов в граммах на блюдо задается
следующей таблицей:

Вид ингредиента	Блюдо А	Блюдо В	Блюдо С
Ингредиент 1
Ингредиент 2
Ингредиент 3

Стоимость приготовления блюд одинакова (100 руб.).

Ежедневно в ресторан поступает 5 кг ингредиента 1 и по 4 кг ингредиентов видов 2 и 3. Каково оптимальное соотношение
дневного производства блюд различного вида, если производственные мощности ресторана позволяют использовать весь запас
поступивших продуктов?

Решение. Для решения задачи введем обозначения: пусть x₁- дневной выпуск блюда А; х₂ - дневной выпуск блюда В; х₃ - дневной выпуск блюда С.

Составим целевую функцию - она заключается в стоимости выпущенных рестораном блюд:

Z=100x₁+100x₂+100x₃

Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь таблицей):

1. 20х₁+ 50х₂+10х₃5000;

2. 20х ₁ + 0х₂+40х ₃ 4000;

3. 20х ₁ + 10х ₂ +10х ₃ 4000.

Кроме того, поскольку нельзя реализовать часть блюда и количество блюд не может быть отрицательным, добавим еще ряд ограничений:

1. Х 1 > 0;

2. х2 > 0;

3. Х3 > 0;

4. x₁ — целое;

5. х₂ — целое;

6. х₃ — целое.

Теперь можно приступить к решению задачи на компьютере.

1. Откроем новую книгу Excel.

2. В ячейки E2, E9 и E10 занесем дневной запас продуктов - числа 5000,4000 и 4000 соответственно

3. В ячейки С3, C4 и C5 занесем начальные значения неизвестных х_1, х ₂и х₃(нули) - в дальнейшем значения этих ячеек
будут подобраны автоматически.

4.В ячейку С7 занесем формулу целевой функции =100*(С3
+ С4 + С5)

5. В ячейках диапазона С8:C10 занесем ограничения для расчета расхода
ингредиентов по видам, руководствуясь таблицей:

С8 - 20*C3+50*C4+10*C5;

С9 - 20*C3+0*C4+40*C5;

С10 - 20*C3+10*C4+10*C5.

6. Дадим команду Данные> Анализ>Поиск решения - откроется диалоговое окно Поиск решения.

7. В поле Установить целевую ячейку мышью укажем ячейку, cсодержащую оптимизируемое значение (С7) (рис.1). Установим
переключатель Равной в положение максимальному значению
(требуется максимальный объем производства).

8. В поле Изменяя ячейки мышью зададим диапазон подбираемых параметров (неизвестных х_i) — С3:С5.

9. Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на
кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в
поле Ссылка на ячейку мышью укажем диапазон С8 :С10. В качестве условия зададим <=. В поле Ограничение мышью зададим
диапазон E8:E10. Это условие указывает, что дневной
расход ингредиентов не должен превосходить запасов. Щелкнем
на кнопке ОК.

Рис. 1. Пример заполнения диалогового окна Поиск решения

10. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на
ячейку укажем диапазон С3:C5. В качестве условия зададим >=.
В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что
число приготавливаемых блюд неотрицательно. Щелкнем на
кнопке ОК.

11. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на
ячейку укажем диапазон С3:C5. В качестве условия выберем
пункт цел. Это условие не позволяет производить доли блюд.
Щелкнем на кнопке ОК.

12. Нажимаем кнопку параметры и выбираем – Линейная модель, оставляя все остальное без изменений.

13. Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

14. Установим переключатель Значения параметров в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на
кнопке ОК.

В результате получится оптимальный набор переменных
(оптимальное количество приготавливаемых фирменных блюд)
при данных ограничениях (при данном количестве ингредиентов): блюда А - 184 порции (х₁), блюда В - 24 порции (х₂) и
блюда С - 8 порций (х₃). При этом общая стоимость блюд (Z)
будет максимальной и равной 21 600 руб. При этом останутся
неизрасходованными 40 г первого ингредиента (рис. 2).

Рис. 2. Результат вычислений из примера

Проанализируем полученное решение. Проверить его оптимальность можно, экспериментируя со значениями ячеек С1:Е1.
Например, допустим, что решили приготовить количества блюд,
соответственно 184, 23, 9. Тогда при той же общей стоимости
блюд будет перерасход второго ингредиента на 40 г, что, естественно, недопустимо. Можно рассмотреть и другие варианты.
Чтобы восстановить оптимальные значения, можно в любой момент повторить операцию поиска решения.

Самостоятельные задания

Вариант 1.

Кулинария магазина «О КЕЙ» выпускает два вида холодных закусок: А и В. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства обоих видов используются полуфабрикаты: I и II. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 7 и 9 центнеров. Расходы полуфабрикатов I и II на одну тонну соответствующих закусок приведены в таблице 1.

Таблица 1. Расход полуфабрикатов

Изучение покупательского спроса показало, что суточный спрос на закуски В никогда не превышает спроса на закуски А, а спрос на закуски А не превышает 3 центнеров. Оптовые цены одного центнера полуфабрикатов равны: 400 у.е. для В и 300 у.е. для А. Какое количество закусок каждого вида должна производить кулинария магазина «О КЕЙ», чтобы доход от реализации был максимален.

Вариант 2..

Для приготовления четырех фирменных блюд F₁, F₂, F₃, F₄в ресторане используют три вида ингредиентов I₁, I₂, I₃. Объемы выделенных ингредиентов (в граммах), нормы расхода ингредиентов (в граммах) и прибыль при приготовлении 1 блюда приведены в табл. 2. Какое количество каждого вида блюд должен производить ресторан, чтобы доход от реализации был максимален.

Таблица 2. Нормы расхода ингредиентов и прибыль от реализации 1 блюда.