Основные теоремы теории вероятностей
Классическое определение вероятности
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Приведём определение, которое называется классическим.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержатся 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причём 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый.
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Обозначим А – появление цветного шара. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: ω1 – появился белый шар, ω2, ω3 – появился красный шар, ω4 , ω5 , ω6 – появился синий шар. Эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий и они равновозможны. Благоприятствуют нашему событию А следующие 5 исходов: ω2, ω3, ω4 , ω5 , ω6. Таким образом, событие А наступит, если в испытании наступит один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А.
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через p. В нашем примере всего элементарных исходов 6; их них благоприятствующих появлению события А – 5. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна р(А) =. Это число и даёт ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу и определяется формулой
,
где – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; – число всех элементарных исходов испытания.
Отметим следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае и p.
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае < 1, следователь
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Доказательство. Пусть общее число возможных элементарных исходов испытания; число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; число элементарных исходов, благоприятствующих событию В. Тогда, число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, по правилу суммы, равно. Следовательно,
Заметим, что:
1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий;
2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;
3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.