Задача Коши.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.
ЛЕКЦИЯ 19
19.5.1. Теорема о существовании и единственности решения д. у. (1)
Теорема. Если непрерывны в области W Í Rn +1, то " т. $ единственное решение y (x) уравнения на некотором интервале оси Ox, содержащем x 0, такое, что
(2)
19.5.2. Задача Коши для д. у. n -го порядка. Общее и частное решения, общий и частный интегралы. Особые решения.
Определение. Задача Коши: найти решение д.у.(1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
В условиях теоремы о $ и единств. решения задача Коши " точки имеет единственное решение (задача Коши поставлена корректно).
Пример. .
– не корректно (по области определения);
– не корректно, т.к. не непрерывна;
– задача поставлена корректно.
Определение. Если в области W Í Rn +1
" т. задача Коши имеет единственное решение, то каждое из решений y (x) называется частным решением уравнения в W.
Если получена формула
y = φ(x, C 1, C 2, …, Cn) (3)
такая, что
а) " C 1, C 2, …, Cn из некоторого E Í Rn функция
|
|
y = φ(x, C 1, C 2, …, Cn) есть частное решение в W
б) каждое частное решение в W может быть получено по этой формуле выбором единственных C 1, C 2, …, Cn,
то формула (3) называется общим решением д.у. в W.
определяющие частное и общее решения в неявном виде
(т.е. имеющие те же решения, что и д. у.),
называют частным интегралом и общим интегралом д.у.
Определение. Решение д.у. называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.