Ранее была выведена формула Тейлора для непрерывной функции:
f(x) = f() + f+ f+...+f+R(x) (7)
R(x) =(), 0< <1, остаточный член в форме Лагранжа;
и формула Маклорена.
f(x) = f(0) + ++...++R(x)
Если , то вместо формул Тейлора и Маклорена получим разложение
f(x) в ряды Тейлора и Маклорена, которые сходятся к f(x), когда
R(x) = 0, для любого x[] (**)
Доказательство (**) требует сложного математического аппарата.
Однако для большинства элементарных функций, рассматриваемых
математическим анализом область сходимости ряда (7) формально
написанного для f(x) совпадает с областью, для которой выполняется (**).