Лекция 2. Равновесие системы сил. Пара сил

3 4 5 6 7 8 9

NEXT

Задача 6. Частица на отрезке с потенциальной ямой. Система погружена в термостат.

NEXT

'печать средних величин

PRINT "E1cp=", E1cp, "E2cp=", E2cp, "E1cp+E2cp=", E1cp + E2cp, "E0=", E0

PRINT "E2cp/E1cp=", E2cp / E1cp

PRINT "x1cp=", x1cp, "x2cp=", x2cp

PRINT "dx1=", SQR(x12cp - x1cp ^ 2), "dx2=", SQR(x22cp - x2cp ^ 2)

PRINT "число ударов n=", n

Пример экспериментальных данных при равных массах. 6 измерений.

m2/m1= 1

E1cp=.3159674 E2cp=.6823276 E1cp+E2cp=

.9982951 E0= 1

E2cp/E1cp= 2.159487

x1cp=.5253313 x2cp= 1.079103

dx1=.3461974 dx2=.2806781

число ударов n= 2724

m2/m1= 1

E1cp=.3455153 E2cp=.6537001 E1cp+E2cp=

.9992154 E0= 1

E2cp/E1cp= 1.891957

x1cp=.5507061 x2cp= 1.085436

dx1=.3515712 dx2=.2743936

число ударов n= 2265

m2/m1= 1

E1cp=.3205802 E2cp=.6790064 E1cp+E2cp=

.9995866 E0= 1

E2cp/E1cp= 2.118055

x1cp=.530637 x2cp= 1.080149

dx1=.3483114 dx2=.2804278

число ударов n= 2415

m2/m1= 1

E1cp=.3297172 E2cp=.6685681 E1cp+E2cp=

.9982853 E0= 1

E2cp/E1cp= 2.027701

x1cp=.5392638 x2cp= 1.081812

dx1=.3520854 dx2=.2787308

число ударов n= 2898

m2/m1= 1

E1cp=.3296842 E2cp=.6694469 E1cp+E2cp=

.9991311 E0= 1

E2cp/E1cp= 2.03057

x1cp=.5377797 x2cp= 1.082206

dx1=.3501166 dx2=.2787733

число ударов n= 2197

m2/m1= 1

E1cp=.3405819 E2cp=.6587474 E1cp+E2cp=

.9993293 E0= 1

E2cp/E1cp= 1.934182

x1cp=.5453964 x2cp= 1.084372

dx1=.3496881 dx2=.2758292

число ударов n= 2245

Среднее значение отношения энергий[41]

Статистическая сумма системы.

Средняя энергия

Среднее значение координаты.

'программа: частица на отрезке с потенциальной ямой

'канонический ансамбль

L = 1 'размер отрезка

INPUT "относительный размер ямы a/L = ", aL

a = L * aL

e = 1 'глубина ямы

INPUT "относительная температура e/kT = ", ekT

nstep = 1000000 'число шагов цепи Маркова

delt = L / 10 'размер области разыгрывания сдвига

x = a / 2 'начальная координата частицы

U = -e 'потенциальная энергия

FOR i = 1 TO nstep 'цикл блуждания

dx = delt * (2 * RND - 1) 'сдвиг частицы

x = x + dx

IF x < 0 THEN x = -x 'отражение от левой стенки

IF x > L THEN x = 2 * L - x 'отражение от правой стенки

IF x <= a THEN U1 = -e ELSE U1 = 0 'определение энергии

p12 = EXP(-(U1 - U) * ekT) 'переходная вероятность

IF RND >= p12 THEN x = x - dx: GOTO 1 'разыгрывание перехода

k = k + 1: U = U1 'счетчик удачи, энергия

1 xcp = xcp + x / nstep 'подсчет средних величин

Ucp = Ucp + U / nstep

'печать результатов

PRINT "средняя потенциальная энергия Ucp = ", Ucp

U0 = -e * a * EXP(ekT) / (a * EXP(ekT) + (L - a))

PRINT "теорет. значение энергии Ucp0= ", U0

PRINT "среднее значение координаты xcp = ", xcp

x0 = (a ^ 2 / 2 * (EXP(ekT) - 1) + L ^ 2 / 2) / (a * EXP(ekT) + (L - a))

PRINT "теорет. значение ср. координаты xcp0 = ", x0

PRINT "коэффициент сдвига k=nуд/nstep=", k / nstep

Пример экспериментальных данных.

относительный размер ямы a/L =.5

относительная температура e/kT =.01

средняя потенциальная энергия Ucp = -.5146065

теорет. значение энергии Ucp0= -.5024999

среднее значение координаты xcp =.4932805

теорет. значение ср. координаты xcp0 =.49875

коэффициент сдвига k = nуд/nstep=.999753

Высокая температура. Частица с вероятностью 1/2 локализована в яме.

относительный размер ямы a/L =.5

относительная температура e/kT = 1

средняя потенциальная энергия Ucp = -.7415845

теорет. значение энергии Ucp0= -.7310586

среднее значение координаты xcp =.3806343

теорет. значение ср. координаты xcp0 =.3844707

коэффициент сдвига k = nуд/nstep=.977007

Средняя температура. Теоретические и экспериментальные значения практически совпадают.

относительный размер ямы a/L =.5

относительная температура e/kT = 10

средняя потенциальная энергия Ucp = -1.009037

теорет. значение энергии Ucp0= -.9999546

среднее значение координаты xcp =.2486781

теорет. значение ср. координаты xcp0 =.2500227

коэффициент сдвига k = nуд/nstep=.950508

Низкая температура. Частица «сидит» в яме.

[1] Нужное соотношение получается с использованием закона сохранения энергии.

[2] Пример. Вероятность того, что при N бросках монеты «орел» выпадет n раз. Очевидно, что при большом N эта вероятность будет максимальна при n = N×p = N×0,5 = N/2.

[3] Пример. Вероятность того, что за время t произойдет n радиоактивных распадов. Это распределение можно назвать «полудискретным» или смешанным. Процесс определен дискретной (n – число распадов) и непрерывной (t – временной интервал) величинами.

[4] И.П. Базаров вводит постулаты термодинамики: 1 – постулат о термодинамическом равновесии (общее начало термодинамики); 2 – постулат - о существовании температуры («его иногда называют нулевым началом…»). В некоторых учебниках (см. Р. Кубо) «нулевое начало» - это закон транзитивности теплового равновесия. В учебнике И.А. Квасникова. «Для каждой термодинамической системы существует состояние термодинамического равновесия, которого она при фиксированных внешних условиях с течением времени самопроизвольно достигает. Сформулированный тезис составляет так называемое нулевое начало термодинамики.»

[5] Частицей может быть и фотон.

[6] В равновесной системе отсутствуют потоки. Система может состоять и из одной частицы, которая «погружена» в термостат. В этом случае ее температура формально равна температуре термостата.

[7] Параметр независящий от размеров системы является интенсивным. (К интенсивным параметрам относятся и удельные параметры: плотность, удельная энергия, удельная теплоемкость…).

[8] штрих отмечает «недифференциальность» величин. Одно и тоже изменение энергии можно получить различным «весом» слагаемых теплоты и работы. Первый закон в дифференциалах для газа может выглядеть так.

[9] Уточнение определения m будет дано после введения термодинамических потенциалов.

[10] В этой форме все слагаемые записаны через дифференциалы.

[11] Р. Кубо. Теорема Нернста-Планка. Следствия: недостижимость абсолютного нуля, теплоемкость, коэффициент теплового расширения и некоторые другие аналогичные величины стремятся к нулю.

[12] В дальнейших формулах будем использовать мольную теплоемкость.

[13] Математическая безразмерная энтропия определяется. Знак минус необходим для положительной определенности.

[14] Ансамбль – совокупность большого количества систем.

[15] Без множителя Лагранжа можно обойтись следующим образом. Выделим в сумме (14) первое слагаемое. Будем считать вариации вероятностей произвольными (независимыми) кроме первой, которую определим из условия нормировки. Подставим в предыдущее уравнение.. Объединяем суммы. В этом выражении все вариации независимы, и оно должно выполняться тождественно. Поэтому получаем.

[16] Число квантовых состояний может зависеть от числа частиц в системе.

[17] И квантовую формулу энергии можно записать по классической схеме

[18];- сокращенные записи.

[19] При записи результата интегрирования используем приближенную формулу Стирлинга.

[20] Смысл тепловой длины волны состоит в следующем. Интеграл импульсной гауссовой экспоненты определяет эффективную ширину импульсной области (так как максимум функции интегрирования равен 1). Ели теперь на основе этой импульсной эффективной ширины вычислить линейный размер квантовой фазовой ячейки, то и получим «тепловую длину». l³ – определяет геометрическую часть трехмерной квантовой фазовой ячейки..

[21] Для системы в термостате.

[22] В некоторых учебниках «Распределение Максвелла-Больцмана».

[23] Можно записать через импульсы и координаты.

[24] «Нормальным» называют вещество, которое при плавлении увеличивает свой объем.

[25] Поверхность называют линейным гиперболоидом.

[26] Газ при температуре ниже критической принято называть паром.

[27] Критическая изотерма это след от сечения фазовой диаграммы плоскостью PV, которая касается двухфазной области жидкости и насыщенного пара. Точка касания называется критической точкой. На графике PV критическая точка является точкой перегиба.

[28] Einstein A. – Ann. Physic, 22, 180, (1907).

[29] Debye P. – Ann. Physic, 39, 789 (1912).

[30] Для фермионов существует запрет Паули: в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Для бозонов такого ограничения нет.

[31].

[32] И убеждаемся, что l в первом приближении действительно малая величина при малой плотности газа и высокой температуре.

[33] Закон степени 3/2 не согласуется с экспериментальными данными по жидкому гелию. Эксперимент дает зависимость примерно 11/2. (Исихара)

[34] Бозоны при нулевой температуре все располагаются на первом энергетическом уровне.

[35] В пространстве квантовых чисел фермионы находятся внутри 1/8 объема энергетического шара.

[36] Ч. Киттель.

[37] Sommerfeld A., Zs. Phys., 47, 1 (1928)

[38] При низкой температуре нижний предел достаточно «большая» отрицательная величина.

[39] Формулы (149) и (150) справедливы только при низких температурах.

[40] Следует отметить различие между понятиями: степень свободы механическая и степень свободы термодинамическая. Число степеней свободы с точки зрения механики – это число обобщенных координат однозначно определяющих положение механической системы. Для колебательных систем это число определяет число собственных частот колебаний. Число термодинамических (энергетических) степеней свободы равно числу слагаемых в энергетической сумме. Крутильный маятник имеет одну механическую степень свободы и две термодинамические степени свободы. Результат (156) можно интерпретировать следующим образом. Полную энергию поворота приравниваем kT – тепловой энергии двух степеней свободы.. При гармоническом колебании среднее значение квадрата угла поворота связано с квадратом амплитуды известным соотношением. Делаем замену и получаем.

[41] Без учета коэффициента Стьюдента.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы