Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Рис.44

Рис.43

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил , ,…,(рис. 44, а). Выберем произволь­ную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил

= , = , …, = .

приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны

= (), = (), …, = (),

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , при­ложенной в той же точке. При этом или,

.

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой или,

.

Как и в случае плоской системы, величина, равная геометри­ческой сумме всех сил, называется главным вектором системы; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил отно­сительно центра О, называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 36, б).

Векторы и обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.

Выражения для R _x, R _y, R _z нам известны. Проекции век­тора на оси координат будем обозначать M _x, M _y, M _z. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет или, . Аналогично находятся величины M _y и M _z.

Окончательно для определения проекций главного вектора и главного момента получаем формулы:

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M _о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R _x = R _y = R _z = 0 и M _x = M _y = M _z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.