Базовыми для количественной оценки различных показателей надежности являются понятия случайного события, случайной величины и случайного процесса.
Понятие случайного события.
Под событием понимается всякий факт, который в результате испытания (опыта) может произойти или не произойти [7].
События могут быть зависимые и независимые, совместные и несовместные.
Понятие случайной величины. Случайной называется величина, которая в результате испытаний может принять то или иное числовое значение в зависимости от случайного исхода испытания [7].
Понятие случайного процесса (случайной функции)
В теории случайных процессов изучаются закономерности изменения случайных величин в зависимости от изменения неслучайного параметра [7] (время, пространственные координаты и т.д.).
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Суммой n событий называется сложное событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.
Различают сумму несовместимых событий и сумму совместимых событий.
|
|
· Вероятность суммы n несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
где
Следствие 1. Если появление хотя бы одного из n несовместимых событий является достоверным событием, то события Ai образуют полную группу событий, для которых выполняется соотношение .
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий: А и Ā (не A) равна единице:
P(A)+P(Ā)=1, или P(A) = 1– P(Ā).
· Если события А и В совместимы, вероятность суммы этих событий выражается формулой
где АВ – произведение событий А и В –
сложное событие, заключающееся в совместном
появлении событий А и В (рис. 2.2).
Вероятность суммы любого числа совместимых событий вычисляется по формуле
.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Произведением n событий называется сложное событие, заключающееся в совместном появлении всех n событий.
Вероятность произведения n независимых событий
где .
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется с помощью условной вероятности, под которой в случае двух зависимых событий А1 и А2 понимается или вероятность события А1, вычисленная при условии, что произошло событие А2 ( обозначение Р (А1/А2)) или вероятность события А2, вычисленная при условии, что произошло событие А1 ( обозначение Р (А1/А2))
Р(А1А2)=Р(А1)Р(А2/А1)=Р(А2)Р(А1/А2)
Соответственно для условной вероятности
В общем случае для зависимых событий вероятность произведения вычисляется по формуле
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
|
|
Служит для вычисления вероятности события А, которое осуществляется лишь при условии, что происходит одно из независимых событий В1,В2,…Вп, образующих полную группу. Эти события называются ГИПОТЕЗАМИ.
Р(А) = Р(А/В1) Р(В1) + Р(А/В2) Р(В2) +…
….+ Р(А/Вп) Р(Вп)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные характеристики случайных величин – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Для непрерывной случайной величины Х вводится понятие плотности непрерывного распределения вероятности аналогично тому, как вводятся понятия плотностей вещества. Непрерывная случайная величина – погрешность измерения приборов.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА
Полагаем, что число испытаний n неограниченно увеличивается и одновременно уменьшается вероятность появления события, так что математическое ожидание числа появлений события, т.е. величина пр остается неизменной. Обозначая пр=а, имеем р=а/п.
Если число испытаний неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа появлений события остается постоянным и равным а, то вероятность рп(х) биномиального распределения при каждом х=0,1,2,… стремится к пределу, который принято обозначать
.
– математическое ожидание,
– число испытаний,
– число появления событий,
Значения πа(х) и образуют распределение Пуассона
БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассматриваем случай повторения одного и того же испытания, в качестве результатов которого различаем два исхода: появление некоторого события А и не появление его, т.е. появление события Ā (не А). Такая ситуация возникает при отборе партии изделий (электрических ламп, розеток, предохранителей и т.п. элементов схем освещения) на складе для последующего монтажа. Поскольку в складском объеме изделий имеются исправные и брачные изделия, то при отборе реализуются события двух типов или осуществляется отбор исправного изделия (событие А) или брачного (событие Ā). Вероятности появления этих событий различны Р(А)=р, Р(Ā)=q=1 – р, т.к. они образуют полную группу Р(А + Ā)=1.
В сложном событии, когда отбирается партия из n изделий, возможны 2n различных исхода, определяемые сочетаниями элементарных исходов А и Ā. Вероятность х раз наблюдать событие А в течение n испытаний имеет вид [7]
.
Совокупность вероятностей при х = 0,1,2,..n, (0), (1),… (n) называется биноминальным распределением вероятностей. Причем
Часто нужно вычислить вероятность того, что событие А встретится не более чем х раз в n испытаниях, т.е. 0, или 1, или 2, или…, или х раз. Эта вероятность называется кумулятивной (накопленной) вероятностью биноминального распределения и обозначается символом Рп(х) [7]:
Вероятности того, что в п последовательных испытаниях события вида Ai (i=1‚2,…) произойдут ровно х раз, подсчитываются при перемножении биномов (ркξ+qк). После приведения подобных членов коэффициенты при ξх дают вероятности рп(х). Переменная ξ при этих вычислениях имеет вспомогательный характер.
Понятно, что при вычислении вероятностей событий , следует использовать формулу с множителем ξ у вероятности события Ā:
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
При рассмотрении биноминального распределения вероятностей и применении его к задаче об отборе партии изделий, предполагалось, что количество изделий на складе так велико, что, отбирая часть изделий из общего объема, мы не изменяем ни величины последнего, ни условий отбора (задача о выборке с возвращением в объем). При отборе из некоторого конечного объема изделий соизмеримой с ним партии изделий условия отбора и сам объем изменяются (задача о выборке без возвращения). Задача о вероятности того, что число изделий, обладающих признаком А, в выборке объема п будет равно x (0≤x≤n) решается на основе гипергеометрического распределения [7].
|
|
Полагая, что отбор осуществляется из совокупности N изделий, в которой содержится М изделий с признаком А, имеем М/N=р;для вероятности случайного события – отбора в партии из n изделий х изделий с признаком А – имеем формулу [7]
.
Для расчетов pNM(n ٫ x) целесообразно использовать рекуррентное соотношение между соседними членами (2.17):
определяя значение pNM(n ٫0 ) для х=0 по формуле
РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ
УЕДИНЕННОГО ЭЛЕМЕНТА
В ПОТОКЕ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ
«0» – неработоспособное состояние
«1» – работоспособное состояние .
Заданными являются – начальные значения, удовлетворяющие условию .
Для решения уравнений используем операторный метод в варианте, основанном на преобразовании Лапласа. Комплексная переменная в изображениях искомых функций обозначаем через s
,
а система для этих функций имеет вид
Решая данные уравнения, получаем
; .
Соответствующие функции времени находим по теореме разложения, используя формулу
.
для случая, когда знаменатель функций и имеет корень s=0. Находим
При (практически при ) наступает стационарный режим работы объекта с финальными вероятностями
,
причем вероятность .
В предельных режимах (мгновенное восстановление или замена) и (объект после отказа не восстанавливается) имеем соответственно
.
1. Слышалов, В.К. Тышкевич И.В. Основы расчета надежности систем электроснабжения. – Уч. пособие. Иваново.: Ивановский государственный энергетический университет, 2007, –78 с.
2. Слышалов В.К., Чекан Г.В. Основы расчета надежности электро-энергетических систем. – Иваново, ИГЭУ, 2011 – 120 с.
3. В.К. Слышалов. Основы расчета надежности систем электроснабжения. Конспект лекций для студентов специальностей 140205 и 140211 факультета заочного обучения.
4. ГОСТ 27.002 – 89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.
|
|
5. ГОСТ 27.003 – 90. Надежность в технике. Состав и общие правила требований по надежности.
6. ГОСТ 27.301 – 95. Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения.
7. ГОСТ 27.310 – 95. Надежность в технике. Анализ видов, последствий и критичности отказов. Основные положения.
8. ГОСТ Р27.001 – 2009. Надежность в технике. Система управления надежностью. Основные положения.
9. ГОСТ Р27.004 – 2009. Надежность в технике. Модели отказов.