2018-03-08
218
Для характеристики решеток Бравэ элементарные ячейки должны удовлетворять следующим условиям:
1. Сингония элементарной ячейки должна соответствовать сингонии всей пространственной решетки.
2. Число прямых углов при их наличии, а также равных ребер и углов между ребрами должно быть максимальным.
3. При соблюдении этих условий объем элементарной ячейки должно быть минимален.
Вывод типов решеток Бравэ основан на теореме, согласно которой в решетках всегда имеются трансляции, параллельные и перпендикулярные к осям и плоскостям симметрии. Трансляция этоэлемент симметрии бесконечных фигур, представляющий собой перенос в данном направлении. В отечественной литературе иногда трансляцию называют шагом симметрии. Решетка Бравэ представляют собой группу трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве кристаллической решетки. Ребра элементарной ячейки совпадают с трансляциями в кристаллических решетках.
В соответствии с четырьмя указанными условиями выбора и на основании названной теоремы выберем элементарные ячейки для всех 7 сингоний.
|
|
|
Наиболее просто это сделать для кристаллов кубической сингонии. Здесь всегда присутствую три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого 3 Li4, 3 i4 или второго 3 L2 порядка. Соответственно указанной теореме параллельно этим осям мы можем выбрать трансляции и принять их за ребра элементарной ячейки. Четверные или или двойные оси симметрии взаимо связаны осью третьего порядка. Следовательно все три ребра элементарной ячейки кристаллов кубической сингонии равны между собой, а сама элементарная ячейка имеет форму куба:
а = b = c; a = b = g = 90°.
В тетрагональной сингонии форма элементарной ячейки соответствует комбинации тетрагональной призмы и пинакоида:
а = b ¹ c; a = b = g = 90°.
В ромбической сингонии все три ребра элементарной ячейки отличаются, углы между ними остаются прямыми, а форма элементарной ячейки отвечает кирпичику.
а ¹ b ¹ c; a = b = g = 90°.
В моноклинной сингонии ребра элементарной ячейки отличаются, а из прямых углов остаются два. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда:
а ¹ b ¹ c; b ¹ a = g = 90°.
В триклинной сингонии вследствие отсутствия осей и плоскостей симметрии ребра элементарной ячейки совмещаются с любыми трансляциями решетки. Полученная элементарной ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда:
а ¹ b ¹ c; a ¹ b ¹ g ¹ 90°.
В гексагональной сингонии выбор элементарной ячейки представляет определенную сложность поскольку не существует параллелепипеда с гексагональной (шестерной) симметрией. Эту трудность обходят следующим образом. Шестерную ось симметрии L6 или Li6 принимают за ребро с, а ребра а и в совмещают с трансляциями, нормальными этой оси. В результате получаем параллелепипед:
|
|
|
а = b ¹ c; a = b = 90°; g = 120°.
В этом случае не выполнено первое условие выбора элементарной ячейки, поскольку ее сингония отличается от сингонии пространственной решетки. Чтобы подчеркнуть принадлежность элементарной ячейки к гексагональной сингонии, часто рассматривают совокупность трех ячеек повернутых относительно друг другу на 120°. Полученная таким образом, утроенная ячейка имеет форму гексагональной призмы и ее симметрию.
Аналогичным образом поступает при выборе элементарной ячейки в тригональной сингонии. За ребро с выбирают тройную ось симметрии L3 или Li3 принимают, а ребра а и в также совмещают с трансляциями, нормальными этой оси. Получаем уже ранее рассмотренный параллелепипед: а = b ¹ c; a = b = 90°; g = 120°. Однако чаще поступают иначе и выбирают параллелепипед в форме ромбоэдра. Его ребра расположены под косым углом к главной оси симметрии L3. В результате:
а = b = c; a = b = g ¹ 90°.
Мы провели краткий обзор элементарных ячеек всех 7 сингоний. В вершинах этих ячеек расположены узлы решеток. Узлы могут также размещаться в центре ячеек и в серединах их граней, но не могут находиться на ребрах.
Все 14 типов решеток Бравэ, подразделенные по сингониям ячейки представлены в таблице 1.5
Таблица 1.5. Распределение по сингониям типов пространственных решеток
|
Сингония | Тип решетки и обозначение | |||
| Примитивная (Р) | Базоцентриро-ванная (С) | Объемноцентри-рованная (I) | Гранецентри-рованная (F) | |
| Триклинная | 
| |||
| Моноклинная | 
| 
| ||
| Ромбическая | 
| 
| 
| 
|
| Тригональная | 
| |||
| Тетрагональная | 
| 
| ||
| Гексагональная | 
| |||
| Кубическая | 
| 
| 
| |
Выведенные таким образом пять элементарных ячеек называются примитивными. На каждую примитивную ячейку приходится по одному узлу, поскольку каждый узел из 8, расположенных в вершинах ячейки принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам (1/8 ´ 8). Однако в кристаллических структурах возможны также и ячейки, у которых узлы расположены по серединам граней и в центре самой ячейки. У решеток моноклинной и ромбической сингоний узлы расположены не только в вершинах, но также и в центре верхней и нижней гранях. Такие решетки получили название базоцентрированных. В ромбической и кубической сингониях возможны решетки с узлами в вершинах и центрах всех шести граней. Это гранецентрированные решетки. И наконец, у трех сингоний ромбической, кубической и тетрагональной сингониях узлы могут располагаться в вершинах и центре объема ячейки ¾ объемноцнтрированные решетки.
Каждый тип решеток Бравэ представляет собой группу трансляций. Посредством этих трансляций узел, переносится параллельно самому себе, образуя трехмерную кристаллическую структуру.
