IV. Короткі теоретичні відомості

Найпростіші коливання - це гармонічні коливання. Гармонічними коливаннями називають коливання, що відбуваються за законом синуса або косинуса. Рівняння руху для таких коливань записується:

 або              (16.1)

де A – амплітуда коливань, w – частота, j – фаза. Гармонічні коливання здійснюють пружинний маятник і математичний маятник. Але це відбувається лише при невеликих амплітудах відхилення, при яких можна вважати, що повертаючі сили пропорційні величині відхилення х коливної точки від положення рівноваги. Тіло, яке здійснює гармонічні коливання, називають лінійним або гармонічним осцилятором.

     Рівняння руху (ІІ закон Ньютона) записується для пружинного маятника так:

або ;                                    (16.2)

для математичного маятника:

                        або                           (16.3)

Власні частоти гармонічних коливань відповідно мають вигляд:

                                           w_пм= ,                                           (16.4)

                                           w_мм .                                           (16.5)

Якщо система має декілька ступенів вільності, то при малих відхиленнях від положення рівноваги можливі одночасно коливання по усіх ступенях вільності.

Якщо коливання, що відповідають кожному ступеню вільності, незалежні один від одного, тобто не можуть обмінюватися один з другим енергією, то розгляд руху системи з декількома ступенями вільності є чисто кінематична задача: знаючи рух по кожному ступеню вільності, треба провести кінематичне складання рухів. В результаті цього тіло описує траєкторію, яка називається фігурою Ліссажу.

Зв'язаною системою називається система з багатьма ступенями вільності, між якими є зв'язки, що забезпечують можливість обміну енергією між різними ступенями вільності. Прикладом такої системи є два ідентичні маятники, зв'язані пружиною (рис. 16.1). Для цих маятників можлива перекачка енергії від одного маятника до другого і досить складний рух. Якщо маятники закріплені так, що вони можуть коливатись лише у площині маятників, то ця система має два ступені вільності. Незважаючи на складність руху двох зв'язаних маятників, він завжди може бути поданий як суперпозиція двох гармонічних коливань, частоти яких називаються нормальними частотами зв'язаної системи. Число нормальних частот рівне числу ступенів вільності. Нормальними коливаннями для розглядуваної системи є однофазні і протифазні коливання. Однофазними коливаннями називають такі коливання зв'язаної системи, коли маятники у початковий момент відхилені в одну сторону і на однаковий кут. При протифазних коливаннях маятники відхилені в протилежні сторони, але на однаковий кут.