Критерии подобия для физического моделирования механических систем

6.4.1 Теоретическая часть.

Критерии подобия определяются для физических систем на основе теории размерностей. Рассмотрим некоторые элементарные положения теории размерностей.

Как известно, измерить какую-либо величин Q – это значит сравнить ее с другой величиной q той же физической природы, т.е. определить, во сколько раз Q больше (или меньше) q. Для единообразия и возможности сравнения и обмена информацией установлены в масштабе страны и всего мира определенные значения величины q, которую называют единицей измерения. Единицы измерения различных физических величин, объединенных на основе их непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц. Наиболее распространенной и имеющей предпочтительное применение является международная система единиц (СИ) (System International). В СИ произвольно, т.е. независимо одна от другой, выбраны единицы измерения так называемых первичных величин – массы (килограмм, кг), длины (метр, м), времени (секунда, с), силы тока (ампер, а), температуры (градус Кельвина, К^°) и силы света (свеча, св). Они получили название основных единиц.

Единицы измерения остальных, вторичных величин выражаются через основные. Формула, указывающая зависимость единицы измерения вторичной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины. Размерность вторичной величины находится при помощи определительного уравнения, служащего определением этой величины в математической форме. Например, определительным уравнением для скорости является

Будем указывать размерность величины при помощи взятого в квадратные скобки символа этой величины, тогда

где  – соответственно размерности длины и времени;

или                                           

Определительным уравнением для силы можно считать второй закон Ньютона

Тогда

Аналогично определительное уравнение работы

и соответствующее ему уравнение размерностей имеет вид               .

Из этих примеров видно, что размерность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей первичных величин. Следовательно, в случае трех основных единиц размерность любой физической величины Q будет иметь вид:

В теории размерностей доказывается, что при выборе любых трех величин в качестве основных для механической системы необходимо и достаточно, чтобы они были независимыми. Для удовлетворения этого условия три уравнения размерностей должны иметь единственное решение. В алгебре такому условию соответствует неравенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных, т.е.

                                 (6.1)

Проиллюстрируем это условие на примере. При изучении процессов погрузки кусковых материалов тремя основными величинами размерности могут быть приняты плотность материала в кг/м³, т.е. длина а, м, и ускорение свободного падения , м/с² ,  Тогда определитель равен

.

Вычислим определитель по элементам первого столбца:

;

т.к.  и то 1

Отсюда следует, что выбор трех величин  возможен, т.к. они являются независимой системой размерностей. Можно также привести пример, когда три величины не являются независимыми: сила, скорость и мощность, для них Их размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц измерения.

Критерии подобия. 

В теории подобия большое значение имеют безразмерные комплексы величин, представляющие собой произведения различных степеней этих величин; их называют критериями подобия и обозначают . Так, и т.д., где v, t, R, i, u – соответственно скорость, время, длина, омическое сопротивление, ток, напряжение.

Критерии подобия используют в качестве параметров и переменных исследуемой системы. Они представляют собой безразмерные комплексы. В принципе любой безразмерный комплекс величин, описывающих данный физический процесс, скомбинированный как их произведение с различными показателями степени может быть критерием подобия для данной системы. Выясним важный для дальнейшего вопрос: сколько независимых между собой критериев можно образовать из n независимых размерных величин?

В теории подобия доказывается, что таких независимых критериев подобия может быть не более n-r, где r - число первичных размерностей данной системы (например, для механической системы r=3), а n - число изучаемых размерных величин.