Билет 23. Характеристика качества уравнения регрессии: стандартная ошибка уранения и множественный коэффициент детерминации (формула расчета и интерпретация)

Для общей оценки качества построенной эконометрической определяются такие характеристики как коэффициент детерминации, индекс корреляции, средняя относительная ошибка аппроксимации, а также проверяется значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Перечисленные характеристики являются достаточно универсальными и могут применяться как для линейных, так и для нелинейных моделей, а также моделей с двумя и более факторными переменными. Определяющее значение при вычислении всех перечисленных характеристик качества играет ряд остатков εi, который вычисляется путем вычитания из фактических (полученных по наблюдениям) значений исследуемого признака yi значений, рассчитанных по уравнению модели yрi.

Рассмотрим стандартную ошибку уравнения регрессии и коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка уравнения регрессии является оценкой величины квадрата ошибки, приходящейся на одну степень свободы модели. Рассчитывается по формуле:

где e - значение ряда остатков

Используется как основная величина для измерения качества модели (чем она меньше, тем лучше).

Коэффициент детерминации

показывает, какая доля изменения исследуемого признака учтена в модели. Другими словами коэффициент детерминации показывает, какая часть изменения исследуемой переменной может быть вычислена, исходя из изменений включённых в модель факторных переменных с помощью выбранного типа функции, связывающей факторные переменные и исследуемый признак в уравнении модели.

Коэффициент детерминации R2 может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации R2 к единице, тем лучше качество модели.

24. Уравнение регрессии — это уравнение, описывающее корреляционную зависимость между признаком-результатом Y и признаками факторами (одним или несколькими).

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

В математической статистике дисперсионный анализ рассмотрен как самостоятельный метод статистического анализа. Здесь же он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Обозначим Согласно основной идее дисперсионного анализа

или

где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, а Q_R и Q_e - соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

25.
После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: b₁ = b₂ =... = b_m = 0.

26.

28.Построение точечного прогноза

Tочечный прогноз получается путем простой подстановки соответствующих значений x в уравнение регрессии.

Зачастую значения факторов, для которых нужно сделать прогноз значения зависимой переменной, получают на основе среднего прироста значений фактора внутри выборочной совокупности:

(6.19)

где x_max и x_min - соответственно, максимальное и минимальное значение переменной x в выборочной совокупности.

При выполнении экстраполяции для определения конкретного значения х, используемого для расчета прогнозного значения y, можно использовать формулу:

x_k= x_max +

∙ k,

(6.20)

при прогнозе на один шаг k = 1, на два шага - k = 2 и т.д.

30.
При определении доверительного интервала для индивидуальных значений зависимой переменной в оценку суммарной дисперсии включают величину s², характеризующую рассеяние прогнозных значений вокруг линии регрессии. В результате оценка дисперсии индивидуальных значений при равна