Линейное подпространство – Подмножество V линейного пространства L называется подпространством пространства L если V само является пространством относительно операций определенных на L.
Критерии подпространства(методичка страница 91)Пусть V подпространство L
1) для любого x,y из V справедливо x+y принадлежит V
2) аналогично для умножения на скаляр a*x принадлежит V
Пример подпространства: множество V2 геометрических векторов, лежащих в плоскости, является линейным подпространством пространства трехмерных геометрических векторов V3.Советую поискать и другие примеры.
Сумма подпространств в — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть
.
Предложение 2. Пусть и — подпространства конечномерного векторного пространства . Тогда
Связь размерностей .
Пересечение подпространств – подпространство содержащее элементы которые есть в обоих подпространствах
Рассмотрим два линейных подпространства X1 и X2 линейного пространства X.
Если любой вектор x X может быть единственным образом представлен в виде x = x1 + x2, где x1 X1 и x2 X2, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X1 и X2.
|
|
Прямая сумма обозначается X = X1 + X2.
Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.