Преобразуем известное разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям:
(1)
где ;
Известно, что:
(2)
С учетом (2) получим:
– комплексная амплитуда k-ой гармонической составляющей.
Представление колебания рядом Фурье в комплексной форме:
(3)
При таком представлении считается, что в состав колебания входят гармоники с положительными и отрицательными частотами.
При комплексном представлении ряда Фурье, амплитудные и фазовые спектры периодического колебания становятся двухсторонними. Амплитуды гармоник с частотами kΩ и - kΩ равны .
На практике можно использовать и односторонние и двухсторонние спектры.
Пример:
- среднее значение (постоянная составляющая).
1) Пусть период
2)
3)