Пусть f (x) – периодическая с периодом 2 l функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле на интервале (– l, l). Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:
f (x) = + ,
где а 0 = , аn = , bn = (n = 1, 2, …).
Ряд Фурье четной функции f (x) содержит только свободный член и косинусы
f (x) = + ,
где а 0 = , аn = (n = 1, 2, …).
Нечетная функция f (x) разлагается в ряд Фурье по синусам f (x) = ,
где bn = (n = 1, 2, …).
Пример 45. Разложить в ряд Фурье функцию, представленную на рисунке.
• Имеем f (x) = х 2, –1 ≤ х ≤ 1, f (x + 2) = f (x), х (–∞, +∞).
Эта функция непрерывна на всей числовой оси, четная и имеет период 2 l = 2,
Поэтому а 0= = 2 = . an = = 2 =
= = 2 = – =
= = – = – = .
bn = 0.
f (x) = + cosπ nx = + (– + – + – …)(–∞ ≤ х ≤ ∞).