Сложение колебаний одинакового направления

 

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же направления. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х₁ и х₂ которые запишутся следующим образом:

х₁ = а₁ cos (w _оt + a ₁),                                                                            (27.12)  

х₂ = а₂ cos (w _оt + a₂).

 

       Вспомним описание гармонических колебаний в виде векторной диаграмм (рис.27.7) и представим оба колебания с помощью векторов a₁ и а₂ (рис. 27.8). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х = х₁ + х₂.

 

              Рис.27.7.                                                                Рис.27.8.

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью w _о, как и векторы a₁ и а₂, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w _о, амплитудой а и начальной фазой a. Из построения (и из теоремы косинусов) следует, что

(27.13)

                                                                     (27.13)

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Формулы (27.12) и (27.13) можно, конечно, получить, сложив выражения (27.1) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью.

Проанализируем выражение (27.12) для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний (a₂ - a₁) равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме а₁ и a₂. Если разность фаз (a₂ - a₁) равна + p или - p, т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна |а₁ – а₂|.

Если частоты колебаний х₁ и х₂ неодинаковы, векторы a₁ и а₂ будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний w, частоту второго колебания через w + Dw. По условию Dw<<w. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает, что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент «запустить секундомер». Тогда уравнения обоих колебаний будут иметь следующий вид:

x₁ = a cos w t,                                                                                                  

x₂ = a cos (w + Dw)t.

Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов , получаем:

x = x₁ + x₂ =                                                           (27.15)

(во втором множителе пренебрегаем членом Dw/2 по сравнению с w).

       Рис.27.9. Формирование биений.

График функции (27.15) изображен на рис. 27.9, а.

График построен для .

Заключенный в скобки множитель в формуле (27.15) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия Dw<<w за то время, за которое множитель cos w t совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (27.15) как гармоническое колебание частоты w, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от -2а до +2а, в то время как амплитуда по определению - положительная величина. График амплитуды показан на рис.27.9,б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид:

амплитуда = .                                                                                (27.16)