Решить задачу линейного программирования

Найти наибольшее и наименьшее значение функции F(x,y)=4у-х в области заданной системой неравенств.

1. Сначала построим область, заданную системой неравенств

-  - описывает правую полуплоскость относительно оси Оу.

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

у-1=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;1).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (2;2): . Значит, искомая полуплоскость – верхняя относительно прямой у-1=0

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

у-5=0 есть прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;5).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (2;2): . Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой у-5=0

- .

Построим сначала прямую, потом выберем искомую полуплоскость.

х+у-7=0 есть прямая, проходящая через точки (1;6) и (3;4).

Прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Выдерем точку лежащую в одной из них и проверим выполнимость неравенства.

Пусть, точка (5;4): . Значит, искомая полуплоскость – нижняя относительно прямой х+у-7=0

Искомая область является пересечением всех четырех полуплоскостей.

у

6
5
4
2
1
0	1	2		4		6		х

2. Найдем узловые точки области (угловые точки)

А(0;1), В(0;5), С(6;1), D(2;5).

 

3. Найдем значение функции в каждой точке.

F(A)=4y-x=4-0=4

F(B)=20-0=20

F(C)=4-6=-2

F(D)=20-2=18

 

Сравнивая значения, находим, что

своего наибольшего значения (20) функция достигает в точке В(0;5);

своего наименьшего значения (-2) функция достигает в точке С(6;1).