Определение. Уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть полный дифференциал некоторой функции , т.е. .
Способ решения. При решении дифференциального уравнения вида (1) сначала проверяем выполнение условия, при котором уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах. Оно состоит в равенстве частных производных (2). Затем, используя равенства и (3), находим функцию . Решение записываем в виде .
Замечание. Если , то при некоторых условиях существует функция такая, что . Эта функция называется интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко найти в случаях:
1) когда , тогда ;
2) когда , тогда .
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение:
Здесь , . Проверяем выполнение условия (2):
, , .
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (3) будут здесь выглядеть как
, .
Отсюда имеем
.
Найдем функцию , продифференцировав последнее выражение по :
.
Получаем уравнение
,
откуда находим , т.е. . Таким образом, функция и общий интеграл уравнения имеет вид
|
|
, или , где .
Ответ: Общий интеграл: