ОДНОФАКТОРНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА ОЦІНОК ОДНОФАКТОРНОЇ ЕКОНОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ
Вибірка змінних та задається табл.1: Таблиця 1
25 | 24 | 20 | 20 | 17 | 14 | 10 | 9 | 8 | 5 | |
6 | 10 | 12 | 14 | 15 | 20 | 24 | 27 | 29 | 35 |
Необхідно:
1. Провести специфікацію моделі.
2. Розрахувати оцінки та методом:
· МНК (за системою нормальних рівнянь);
· МНК (через відхилення від середніх).
3. Дати геометричну інтерпретацію оціночних рівнянь.
4. Обчислити загальну, пояснену і непояснену дисперсії.
5. Інтервал довір’я (р=0.9) рівняння економетричної моделі.
6. Коефіцієнт детермінації і кореляції.
7. Інтервал довір’я (р=0.9) параметрів та .
8. Перевірити нульову гіпотезу щодо коефіцієнту кореляції r. Перевірити нульову гіпотезу щодо кутового коефіцієнту .
9. Перевірити адекватність прийнятої економетричної моделі експериментальним даним.
Хід роботи.
1) Специфікацію моделі здійснюємо з допомогою діаграми розсіювання. В прямокутній декартовій системі координат xOy будуємо точки { xi, yi } (i = ), координати яких визначаються табл. 1 (див. рис. 1).
|
|
Рис. 1
Переконавшись з графіку, що залежність між фактором і показником лінійна, знаходимо оціночне рівняння у вигляді:
2) Оцінки параметрів та обчислюємо з системи нормальних рівнянь методу найменших квадратів
де n – об’єм вибірки.
Будуємо розрахункову таблицю Табл. 2
N | i | i | i i | i2 |
1 | 6 | 25 | 150 | 36 |
2 | 10 | 24 | 240 | 100 |
3 | 12 | 20 | 240 | 144 |
4 | 14 | 20 | 280 | 196 |
5 | 15 | 17 | 255 | 225 |
6 | 20 | 14 | 280 | 400 |
7 | 24 | 10 | 240 | 576 |
8 | 27 | 9 | 243 | 729 |
9 | 29 | 8 | 232 | 841 |
10 | 35 | 5 | 175 | 1225 |
S | 192 | 152 | 2335 | 4472 |
Система рівнянь в числах набере вигляду
Її можна розв’язати довільним методом. Продемонструємо розв’язок цієї системи за допомогою методу Крамера. Оцінки будуть розраховуватися за формулами:
Тоді
= | (152·4472-192·2335)/(10·4472-(192)2) = | 29,46 | |
= | (10·2335-192·152)/(10·4472-(192)2)= | -0,74 | |
Ці ж оцінки знайдемо не розв’язуючи системи нормальних рівнянь. Згідно МНК через відхилення від середніх значень
де
Будуємо розрахункову таблицю Табл. 3
N | ||||||||
1 | 25 | 6 | 9,8 | -13,2 | 174,24 | -129,36 | ||
2 | 24 | 10 | 8,8 | -9,2 | 84,64 | -80,96 | ||
3 | 20 | 12 | 4,8 | -7,2 | 51,84 | -34,56 | ||
4 | 20 | 14 | 4,8 | -5,2 | 27,04 | -24,96 | ||
5 | 17 | 15 | 15,2 | 19,2 | 1,8 | -4,2 | 17,64 | -7,56 |
6 | 14 | 20 | -1,2 | 0,8 | 0,64 | -0,96 | ||
7 | 10 | 24 | -5,2 | 4,8 | 23,04 | -24,96 | ||
8 | 9 | 27 | -6,2 | 7,8 | 60,84 | -48,36 | ||
9 | 8 | 29 | -7,2 | 9,8 | 96,04 | -70,56 | ||
10 | 5 | 35 | -10,2 | 15,8 | 249,64 | -161,16 | ||
S | 152 | 192 | 0 | 0 | 785,6 | -583,4 |
Отже, оціночне рівняння має вигляд |
|
|
4) Знаходимо загальну, пояснену і непояснену дисперсії по формулах
; .
Необхідні обчислення приведені в таблиці: Табл 4
N | 2 | - | ( - )2 | - | ( - )2 | ||||
1 | 25 | 6 | 9,8 | 96,04 | 25,02 | 9,82 | 96,4324 | -0,02 | 0,0004 |
2 | 24 | 10 | 8,8 | 77,44 | 22,06 | 6,86 | 47,0596 | 1,94 | 3,7636 |
3 | 20 | 12 | 4,8 | 23,04 | 20,58 | 5,38 | 28,9444 | -0,58 | 0,3364 |
4 | 20 | 14 | 4,8 | 23,04 | 19,1 | 3,9 | 15,21 | 0,9 | 0,81 |
5 | 17 | 15 | 1,8 | 3,24 | 18,36 | 3,16 | 9,9856 | -1,36 | 1,8496 |
6 | 14 | 20 | -1,2 | 1,44 | 14,66 | -0,54 | 0,2916 | -0,66 | 0,4356 |
7 | 10 | 24 | -5,2 | 27,04 | 11,7 | -3,5 | 12,25 | -1,7 | 2,89 |
8 | 9 | 27 | -6,2 | 38,44 | 9,48 | -5,72 | 32,7184 | -0,48 | 0,2304 |
9 | 8 | 29 | -7,2 | 51,84 | 8 | -7,2 | 51,84 | 0 | 0 |
10 | 5 | 35 | -10,2 | 104,04 | 3,56 | -11,64 | 135,4896 | 1,44 | 2,0736 |
S | 152 | 192 | 0 | 445,6 | 152,52 | 0,52 | 430,2216 | -0,52 | 12,3896 |
Дисперсії = 445,6/10 = 44,56, = 430,2/10=43,02, = 12,4/10=1,24,
а відповідні їм середньоквадратичні відхилення , ,
5) Граничну похибку оцінки за рівнянням економетричної моделі знаходимо по формулі
де - імовірносний коефіцієнт, який при заданих рівнях імовірності р знаходиться за таблицями нормального розподілу. При цьому розв’язуємо рівняння 2Ф(tp)=p, де Ф(t) – функція Лапласа. Для р =0.9 ( =1.65). Одержуємо =1,83. Довірчий інтервал знаходимо з нерівності
- 1,83 + 1,83
- 1,83 + 1,83
+ 27,63
Для наочного уявлення одержаних розрахунків будуємо графіки: фактичних даних , оціночного рівняння , довірчого інтервалу.
Рисунок 2
6) Знайдемо значення коефіцієнта детермінації за формулою
=
і коефіцієнта кореляції за формулою
.
Так як r =-0,98, то це вказує, що оціночна пряма пояснює 98% загальної дисперсії. Дисперсія зумовлена випадковою складовою (невраховані фактори, помилки виміру, суб’єктивний чинник) складає лише 2%. Знак коефіцієнта кореляції повинен співпадати з знаком .
7) Переходимо до знаходження довірчих інтервалів для параметрів та . Вони знаходяться аналогічно довірчим інтервалам оцінки за рівнянням економетричної моделі. Спочатку знаходимо граничні похибки оцінок за формулою
, ,
де , - дисперсії оцінок та , які визначаються за формулами
= .
= .
Обчислюємо = , = ;
=1,38,
Отже,
довірчий інтервал для параметра
- Ј a Ј +
29,46 - 1,38Ј a Ј 29,46 + 1,38
28,08 Ј a Ј 30,84.
Довірчий інтервал для параметра b
- £ b £ +
-0,74 - 0,07£ b £-0,74 + 0,07
-0,81 £ b £-0,67.
8) Коефіцієнт кореляції r знайдено на основі вибіркових даних і він є випадковою величиною. Зробимо перевірку нульової гіпотези. Згідно з нею коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності дорівнює нулю (відсутній кореляційний зв’язок між Y і X в генеральній сукупності) і необхідно дослідити сумісність коефіцієнта кореляції із нашої вибірки (r) з даною гіпотезою. Нульова гіпотеза Н0: r ген = 0, альтернативна гіпотеза Н1: r ген № 0. Для вибірки обчислюється статистика
яка має розподіл Стьюдента з k=n-2 ступенями вільності. Для заданої ймовірності р і k ступенів вільності знаходимо табличне значення - статистики. Якщо то із заданою надійністю р гіпотезу Н0 слід відкинути і прийняти альтернативну гіпотезу Н1 про існування залежності між цими випадковими величинами. = . Табличне значення =2.306 для надійності р=0.95. Емпіричне значення t більше критичного, тому нульова гіпотеза відхиляється. В 95% вибірок з генеральної сукупності коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю.
Перевіримо нульову гіпотезу стосовно оцінки . Знаходимо емпіричне значення відношення для перевірки нульової гіпотези за формулою: . = 18,5.
Табличне значення =2.306 для надійності р=0.95. Емпіричне значення t більше критичного, тому нульова гіпотеза відхиляється. Кутовий коефіцієнт розрахований по вибірці вважається статистично значущим з імовірністю 0,95.
9) Для визначення адекватності прийнятої економетричної моделі експериментальним даним скористаємося F - критерієм Фішера. Розрахункове значення критерію (m-кількість факторів).
|
|
= =156,79.
Табличне значення критерію для ймовірності р =0,95 і числа ступенів вільності k1 =m=1, k2=n-m-1=10-2=8 дорівнює 5,32 (див. висн.).
Висновки
1. Оскільки Fроз. >Fтаб., то з надійністю р = 0,95 економетричну модель =-0,74+29,46* x можна вважати адекватною експерементальним даним і на підставі прийнятої моделі можна проводити економічний аналіз.
2. При зміні фактора на одиницю показник зміниться на –0,74.