Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой: диапазон, точность

Способы представления чисел в ЭВМ: Системы счисления, элементарные арифметические операции, преобразование чисел из одной системы счисления в другую, обоснование выбора двоичной системы счисления.

Система счисления – способ представления физических величин, выражений числами с ограниченным набором знаков, называемых цифрами.

Позиционная система счисления – такая система счисления, в который вклад каждой цифры в общую величину числа определяется её позицией в записи числа, … дробного знака, при этом слева от дробного знака идет положительное возрастание, справа налево, а после дробного знака – нумерация идет с отрицательным возрастанием.

Р – основание системы счисления, численно равная количеству цифр для отображения числа в этой системе счисления.

Вклад цифры = цифра+Р^nв степени порядкового разряда. Количество чисел – основание системы счисления в степени количества разрядов.

ЭВМ использует 2ичную систему счисления, которая содержит в себе минимальное количество значимых цифр, однако, она неудобна для чтения людям и занимает большое количество разрядов.

Элементарные арифметические операции: сложение, вычитание.

Перевод из СС1 в СС2

Наиболее распространенный метод:

Вариант 1: Ар1 -> Ар2 -?

1) Число Ар1 делить на р2: остаток 1 и частное 1 <p2 -нет? – следующая итерация

2) Частное 1 делим на р2: остаток 2 и частное 2<p2 -нет? – следующая итерация

… и так далее, до того момента, пока частное не будет меньше р2.

Результат: частное n. остаток n, остаток n-1 … остаток 1

Вариант 2: для дробных частей и дроби:

1) Дробь Ар1 умножить на р2: целая часть 1, дробная часть 1

2) Дробная часть 1 умножить на р2: целая часть 2, дробная часть 2

3) И тд

Количество знаков после запятой рассчитывается по формуле:

 - число округляется в большую сторону.

Двоично – десятичные системы счисления. Использование 2k -х систем счисления. Перевод чисел, представленных в 2k -х системах счисления.

Поскольку человеку наиболее привычны представление и арифметика в десятичной системе счисления, а для компьютера - двоичное представление и двоичная арифметика, была введена компромиссная система двоично-десятичной записи чисел. Такая система чаще всего применяется там, где существует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода. (электронные часы, калькуляторы, АОНы, и т.д.). В таких устройствах не всегда целесообразно предусматривать универсальный микрокод перевода двоичных чисел в десятичные и обратно по причине небольшого объема программной памяти.

Принцип построения этой системы достаточно прост: каждая десятичная цифра преобразуется прямо в свой десятичный эквивалент из 4 бит, например:
3691₁₀=0011 0110 1001 0001_DEC:

Десятичное число	3	6	9	1
Двоично-десятичное число	0011	0110	1001	0001

Преобразуем двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 в его десятичный эквивалент.
Каждая группа из 4 бит преобразуется в её десятичный эквивалент.
Получим 1000 0000 0111 0010_DEC = 8072₁₀:

Двоично-десятичное число	1000	0000	0111	0010
Десятичное число	8	0	7	2

Микропроцессоры используют чистые двоичные числа, однако понимают и команды преобразования в двоично-десятичную запись. Полученные двоично-десятичные числа легко представимы в десятичной записи, более понятной людям.

Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой: диапазон, точность.

Числа с фиксированной запятой представляют в их элементарном виде в виде последовательности 2ичных разрядов определенной длины числа, при этом если число использует знак, то левый крайний, или старший разряд несет смысловое значения знакового разряда.

Соглашение о смысловом значении 2ичных разрядов или групп разрядов называют форматом представления числа.

Диапазоны представления чисел:

Беззнаковые – 2^n

Со знаком – 2^n-1

Один двоичный разряд – 1 бит

1 байт – 8 бит (256 кодов)

Представление числа с плавающей запятой

Нормализованной мантиссой мы будем считать такое представление числа с плавающей запятой, при котором подразумевается целая часть равная нулю, а первый знак дробной части отличен от нуля. При таком представление для записи числа с плавающей запятой используется пара из двух чисел с фиксированной запятой, одно из которых – мантисса, другое – порядок этого числа. Обычно слева идет порядок, а справа – мантисса.

Существует способ представления числа с плавающей запятой, при котором используется смещенный способ представления числа, в таком случае порядок является беззнаковым и является положительным числом, в таком случае число увеличивается на порядок, с другой стороны нужно использовать способы коррекции.