2018-02-14
709
Расчет установившегося пограничного слоя значительно облегчается, если использовать метод интегральных соотношений.
Ламинарный пограничный слой
Запишем уравнение (5.1) для рассматриваемого случая:
. (5.13)
Умножим уравнение неразрывности (5.2) на 
и сложим с (5.13):
. (5.14)
В то же время уравнение (5.2) допускает преобразование к виду
. (5.15)
Вычтем из (5.15) уравнение (5.14) и проинтегрируем от 0 до 
по 
с учетом граничных условий (5.3):
, (5.16)
или
, (5.17)
где 
и 
– введенные выше толщины вытеснения и потери импульса.
Для дальнейшего использования уравнения (5.17) необходимо задать профиль скорости 
. Польгаузен (1921 г.) предложил использовать степенную зависимость
, (5.18)
где 
– относительное расстояние до стенки, четыре константы 
определяются из граничных условий:
|
|
|
, 
, 
, 
, 
. (5.19)
Здесь введен так называемый формпараметр 
. После этого находятся все основные величины:
, 
, (5.20)
, 
.
С учетом (5.20) уравнение (5.17) запишется так:
, (5.21)
где 
и 
– некоторые известные функции, точные выражения для которых опускаем из-за их громоздкости.
Рассмотрим для примера обтекание плоской пластины, когда 
, 
. Согласно (5.20) имеем
, 
, 
и уравнение (5.17) принимает вид
.
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия 
(толщина ПС нарастает от нуля на передней кромке) дает
, 
,
, 
, (5.22)
что хорошо согласуется с результатами точного решения Блазиуса (5.10).
Турбулентный пограничный слой
В этом случае уравнение (5.17) остается в силе. Однако для профиля скорости принимается другой, эмпирически установленный, закон:
, (5.23)
где 
7 для погранслоя на плоской пластине. Выражение для напряжения на стенке берется также по опытным данным:
, (5.24)
где 
– число Рейнольдса, построенное по толщине слоя.
С учетом двух последних формул (5.17) преобразуется к виду
. (5.25)
Решением задачи является
. (5.26)
Видим, что 
~ 
, тогда как 
~ 
, т. е. толщина турбулентного ПС нарастает более интенсивно по сравнению с толщиной ламинарного ПС. Для напряжения на стенке получаем:
|
|
|
. (5.27)
Коэффициент местного сопротивления трения пластины будет
.
Пример 5.2. Найти коэффициент силы трения плоской пластины при ламинарном и турбулентном режимах течения в ПС.
Решение. Расчет 
проводим по формуле (5.10).
А) Ламинарный ПС. В примере 5.1 было получено
,
где 
, 
. Тогда 
.
Б) Турбулентный ПС. Рассчитываем 
с учетом (5.27):
.
Тогда 
.
В частности, при 
106 
1.328×10–3, 
4.543×10–3, т. е. при том же самом числе Рейнольдса коэффициент сопротивления при турбулентном движении приблизительно в 3 раза больше, чем при ламинарном.
Отсюда следует важный практический вывод: для уменьшения сопротивления трения обтекаемого тела необходимо добиться увеличения участка ламинарного пограничного слоя и уменьшения участка турбулентного, т.е. необходимо затягивать как можно дальше ламинарное обтекание поверхности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – 6-е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1987.
2. Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика. – М.: Машиностроение, 1981.
3. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1982.
4. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: Машиностроение, 1975.
5. Бутаев Д.А., Калмыкова З.А., Подвидз Л.Г. и др. Сборник задач по машиностроительной гидравлике: учеб. пособие для машиностроительных вузов / Под ред. И.И. Куколевского, Л.Г. Подвидза. – 5-е изд., стереотипное. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
6. Альтшуль А.Д., Калицун В.И., Майрановский Ф.Г. и др. Примеры расчетов по гидравлике / Под ред. А.Д. Альтшуля. – М.: Стройиздат, 1977.
7. Бекнев В.С., Епифанов В.М., Круглов М.Г. Сборник задач и упражнений по газовой динамике / Под ред. В.С. Бекнева – М.: Машиностроение, 1992.
