Построение математической модели пыления

Расчет коэффициентов математической модели надо начать с вычисления сумм, построение матрицы планирования:

Опыт		ПЛАН					Переменная состояния		Расчет
									( - )2
1	1	+1	+1	+1	+1	+1	234	233,87	0,016641
2	1	-1	+1	+1	+1	-1	220	219,636	0,132496
3	1	+1	-1	+1	+1	-1	184	184,364	0,132496
4	1	-1	-1	+1	+1	+1	151	151,129	0,016641
5	1	-1,41	0	2	0	0	170	170,31	0,0961
6	1	+1,41	0	2	0	0	204	203,777	0,049729
7	1	0	-1,41	0	2	0	166	165,821	0,032041
8	1	0	+1,41	0	2	0	249	249,022	0,000484
9	1	0	0	0	0	0	195	194,333	0,444889
10	1	0	0	0	0	0	189	194,333	28,44089
11	1	0	0	0	0	0	195	194,333	0,444889
12	1	0	0	0	0	0	201	194,333	44,44889
13	1	0	0	0	0	0	192	194,333	5,442889
14	1	0	0	0	0	0	194	194,333	0,110889

 

План эксперимента реализуется по строкам. Например, первый опыт проводится размещением всех факторов на верхнем уровне (+1); при этом получается значение переменной состояния Y₁. То есть, включаем установку на время соответствующее верхнему уровню – 40 секунд и на двигатель подаём напряжение – 215 В. Используя весовой метод определяем концентрацию пыли (переменную состояния), равную 234 мг/м³. За тем реализуется второй опыт и т. д.

Проведение расчётной части работы значительно упрощается при использовании вычислительной техники. Вначале оцените весь объём необходимых вычислений. Для выполнения каких расчётов целесообразнее использовать табличный процессор EXCEL, а какие проще выполнить в MathCAD.  

 

Если обозначить:

 

то коэффициенты регрессии можно определить по следующим формулам:

 

 

 

Математическая модель приобретает следующий вид:

 

  ŷ = b₀+b₁·x₁+b₂·x₂+b₁₁·x₁² +b₂₂·x₂²+b₁₂·x₁·x₂ ;

 

 

Для оценки ошибки опыта рассчитаем дисперсии коэффициентов регрессии:

 

 

Производим расчёт величины t-критерия для групп коэффициентов:

t_ір= çb_іú/Sb_i

Очевидно, что один фактор больше влияет на переменную состояния, другой меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимости каждого коэффициента. Табличное значение t_T = 2.05, следовательно все коэффициенты полученного уравнения будут значимы. Даже, если они будут не много отличаться от табличного значения рекомендуется их оставить.

 

Произведём проверку адекватности уравнения регрессии:

 

       

Остаточная сумма квадратов отклонений.

 

Сумма квадратов, характеризующая адекватность модели определяется как разность:

 

, при

 или

 

Расчетное значение критерия Фишера формулируют как отношение дисперсии адекватности к дисперсии опыта:

 

F _т = 5,41 (f_ад = 3, f₀ = 5, q = 0,05)

Поскольку F_р < F _т, то математическая модель адекватно описывает проведенное исследование. Влияние фактора х₁ станет более очевидным, если фактор х₂ принять равным 0 и построить график уравнения.

 

5. Графический анализ влияния факторов

Графический анализ влияния факторов х₁

Для построения графиков можно использовать и EXCEL, но возможностей для построения и анализа графиков значительно больше в MathCAD. Для построения графика необходимо задать исходную функцию. В данном примере расчёт всех коэффициентов производился в MathCAD, поэтому коэффициенты b₁,b₂,...b₁₂  были определены и рассчитаны выше.

 

 

 

	Задание функции в 5 узловых точках

 

 

Задание интервала

 

Влияние времени работы установки на пыление шламосодержащей шихты

 

 

Аналогичное построение влияния факторов х₂

 

 

 

 

Влияние частоты вращения ротора на пыление шламосодержащей шихты

 

 

 

Переход от натуральных Z к безразмерным X осуществляется при помощи формул кодирования:

 

X_j=(z_j-z_j0)/Dz_j               (J=1,2…n),

Z_j0 – координаты центра плана (нулевой уровень)

DZ_j – интервал варьирования по оси

Z_j – переменная в натуральном масштабе

X_j – переменная в безразмерной системе координат

Таким образом, окончательно уравнение математической модели примет вид:

 Z=194,33+11,87_*(Z₁-30)/10+29,5_*(Z₂-200)/15-3,67_*((Z₁-30)/10)²+6.58_*((Z₂-200)/15)^2-4,75*(Z1-30)/10_*(Z₂-200)/15

Приведем все дроби к общему знаменателю и раскроем скобки, приведём подобные:

Данное действие можно выполнить как вручную, так и с использованием символьного вычисления MathCAD.  Проверить правильность не составит труда. Подставьте нулевые значения. Вы должны получить b₀.

Более детальные исследования пыления можно провести используя трёхмерные графики. При желании получить отличную оценку Вы можете это сделать самостоятельно.

 

 

Вывод:

1. Проведение эксперимента позволило построить математическую модель пыления шихты в условиях лабораторной установки.

2. Анализ адекватности модели по критерию Фишера показал её адекватность.  

3. Анализ графических зависимостей пыления от времени работы и частоты вращения ротора позволил выявить следующие закономерности:

a) увеличение продолжительности работы установки до 45 секунд вызывает увеличение пыления шихты, после чего  пыление становиться величиной относительно постоянной;

b)  увеличение частоты вращения щётки вызывает увеличение пыления на всем интервале исследования.

c) увеличение частоты вращения щётки вызывает увеличение пыления наиболее весомо при небольшой длительности эксперимента.

 

Список литературы:

1. Горстко А.Б. Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского Университета, 1990. – 112с.

2. Уокенбах Д. Библия пользователя  EXCEL 2010.: Пер. С англ.- К.: Диалектика, 2012. – 924с.

3. Дикий Н.А. Халатов А.А. Основы научных исследований. Киев: Издательство Высшая школа, 1993.

4. Бобылев В.П.,Саввин А.В. Использование EXCEL в решении экологических задач.- Днепропетровск: НМетАУ, 2002, - 47с.

5. Ю. Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcad’е. – Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000. – 130 с.

6. Бобылев В.П., Саввин А.В. Методические указания к проведению лабораторных работ - знакомство с Mathcad, для студентов специальности 6.070800 “Экология”.- Днепропетровск: НМетАУ, 2003. - 28с.