Материальные соотношения – соотношения связи – необходимы для описания поведения среды (вещества) по действием падающего электромагнитного поля. Реально эти соотношения крайне сложны, но для тел, находящихся в покое или очень слабого движения друг относительно друга и состоящих из изотропных веществ, т.е. с независящими свойствами от направления, справедливо
, , ,
где s – удельная проводимость среды, – изоляторы или диэлектрики, – проводники,
m – магнитная проницаемость среды, – большинство веществ, особенно газы, – парамагнетики (), – диамагнетики (), – магнетики, сильные магнетики – ферромагнетики (),
e – диэлектрическая постоянная среды.
В случае анизотропной среды, даже в линейном приближении (приближение 1-го порядка), все соотношения существенно усложняются за счет необходимости учета всех проекций векторов при линейной зависимости двух неколлинеарных векторов. В этом случае связь, например, проекций вектора электрического смещения и проекций напряженности электрического поля будет выглядеть следующим образом
|
|
, или , или .
Квадратная матрица 3´3 представляет собой тензор 2-го ранга диэлектрической проницаемости среды. Т.е. для описания свойств анизотропной среды в линейном приближении необходима информация уже о 9 компонентах диэлектрической проницаемости среды.
Замечание о дифференциальных операторах
Векторного и скалярного полей.
Дано: – скалярное поле, – векторное поле.
Градиент – вектор
Дивергенция – скаляр
Ротор (вихрь) – вектор
Важнейшие соотношения:
; ;
; ;
; ; .
Волновое уравнение.
Обобщенное волновое уравнение достаточно легко получить из уравнений Максвелла для области поля, где отсутствуют свободные электрические заряды и нет токов, т.е.
и .
При этом среда распространения электромагнитной волны представляется пространственно неоднородной, но стационарной
и .
Делая несложные преобразования несложно получить обобщенное волновое уравнение, например, для электрического компонента электромагнитной волны
.
Если среда распространения однородна, то
и .
Даже если среда распространения имеет незначительные изменения в пространственном распределении, то можно принять
и .
Тогда волновое уравнение существенно упрощается
или .
В случае среды, отличной от вакуума, т.е. когда , волновое уравнение трансформируется
,
где – фазовая скорость распространения волны в среде с показателем преломления n. Следовательно, справедливо известное соотношение Максвелла .
С учетом векторности волнового уравнения предполагается получение решение для каждого компонента электрического вектора в выбранном пространственном базисе. Другими словами четырехмерность самого уравнения и необходимость разрешения системы трех дифференциальных уравнений в частных производных делает решение этой системы крайне затруднительным.
|
|
Положение существенно усугубляется малостью характерного пространственного масштаба процесса, определяемого длиной волны излучения. В процессе численного решения системы волновых уравнения шаг пространственной дискретизации для аппроксимации частных производных должен иметь размер порядка l.
Пусть l будет иметь порядок 10-6 м. Характерный размер решаемой задачи (области распространения волны) примем равным 1 м. Тогда число узлов сеточной аппроксимации составит условно 106 по одной координате, т.е. весь объем будет содержать 1018 узлов (миллиард гигабитов!), что совершенно неподъемно для всех современных компьютеров.
В связи с этим весьма актуальным остается поиск любых обоснованных приемов, направленных на снижение мерности задачи – сокращения числа независимых переменных, сокращение числа уравнений в системе уравнений, радикальном, но обоснованном преобразовании соотношений или поиск удобоваримых аналитических решений.