§17. Взаимодействие света с границей раздела сред. Формулы Френеля
1. Поляризация света – это одно из фундаментальных свойств электромагнитного излучения. Оно состоит в неравноправности различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу. Поляризация присуща только поперечным волнам.
В электромагнитной теории света поперечность, а, следовательно, поляризованность световых волн вытекает с очевидностью. Но в эфирной волновой модели света, развивавшейся до конца XIX века, поперечность световых волн потребовала специальных доказательств. В таких явлениях, как интерференция и дифракция, вопрос о характере упругих колебаний не имеет принципиального значения. Оба эти явления реализуются как в случаях поперечных (свет), так и в случае продольных (звук) волн.
Термин «поляризация света» (от греческого polos – ось, полюс) предложил в 1808 г. Этьен Малюс.
Поперечность световых волн выражается в том, что колеблющиеся в них векторы напряженности электрического поля Е и индукции магнитного поля перпендикулярны направлению распространения волны.
|
|
Естественный свет, излучаемый любым естественным источником, не поляризован. Хотя каждый элементарный цуг, излучаемый атомом, поляризован, плоскости поляризации разных цугов (плоскости колебаний Е) хаотично ориентированы в пространстве (рис.146 а и б).
Для того, чтобы получить пучок света, плоскости поляризации цугов в котором совпадают (рис.146-в) в оптике используются два способа: взаимодействие световых волн с границей раздела сред и взаимодействие света с анизотропной средой – кристаллом.
В настоящем параграфе будет рассмотрен первый способ, основанный на взаимодействии электромагнитной волны с границей раздела сред. Это взаимодействие зависит от того, как расположена относительно плоскости падения плоскость колебаний вектора E волны. Выделим и рассмотрим здесь два случая:
а. Плоскость колебаний вектора E лежит в плоскости падения;
б. Плоскость колебаний вектора E лежит перпендикулярно плоскости падения.
2. Взаимодействие с границей раздела изотропных сред электромагнитной волны, вектор Е которой колеблется в плоскости падения. Напомним, что плоскость падения – это плоскость, в которой лежат падающий, отраженный, преломленный лучи и перпендикуляр, восстановленный в точку падения.
Пусть в точку О на границе раздела сред падает поляризованная электромагнитная волна, вектор Е которой колеблется в плоскости падения (рис.147). Обозначим амплитудные значения вектора напряженности электрического поля: падающей (E a0), отраженной (E a1) и преломленной (E a2) волн. Полагаем, что свет не поглощается веществом сред. Как известно из курса электричества, касательная составляющая вектора напряженности электрического поля E на границе диэлектрических сред не испытывает разрыва, а нормальная составляющая терпит разрыв, подчиняющийся условию: e 1 E n1 = e 2 E n2. Здесь e 1 и e 2- диэлектрические проницаемости сред.
|
|
Отсюда можно получить два уравнения.
Для касательных составляющих: . (17.1)
Сумма касательных составляющих векторов E a0 и E a1 в среде 1 равна касательной составляющей вектора E a2 в среде 2.
Для нормальных составляющих: . (17.2)
Разделим первое уравнение на , а второе на . Коэффициенты отражения и пропускания электромагнитной волны по амплитуде обозначим соответственно и : . Получаем: (17.3, 17.4)
Так как , и , то коэффициент перед скобкой во втором уравнении принимает вид: (17.5)
Перепишем систему с преобразованным вторым уравнением и, разрешив ее относительно и , получим (17.6)
Здесь (17.7)
Если использовать тригонометрические тождества, то формулы можно записать более компактно: (17.8)
В таком виде эти формулы получил впервые Огюст Френель в 1821 году. Он решил данную задачу в эфирной модели, в которой свет понимается как звуковая (механическая) волна в упругом эфире. Удивительно, что электромагнитная теория света сохранила вид формул (17.8), которые называют формулами Френеля.
3. Взаимодействие с границей раздела изотропных сред электромагнитной волны, вектор E которой колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. В этом случае на границе раздела сред вектор имеетлишь одну составляющую, которая параллельна границе и противоположна оси OZ (рис.148). Составляющие вектора по осям OX и OY равны нулю. Для непрерывной касательной составляющей вектора имеем уравнение: (17.11)
Для нормальной составляющей вектора уравнения нет. Поэтому воспользуемся магнитным полем волны. Вектор индукции в данном случае расположен точно так же, как вектор в предыдущем случае. Поэтому условие непрерывности касательной составляющей вектора записывается так же, как для вектора в предыдущем случае (формула 17.1). Ba 0cos a – Ba 1cos a = Ba 2cos b (17.12)
Перейдем в уравнении (17.12) от В к Е, используя связь между этими величинами. Так как B 2 ½mm 0 = ee 0 E 2, то (17.13)
Но - константа, - показатель преломления среды. Сократив все члены второго уравнения на с, получаем систему:
Обозначив получаем:
(17.16)
Выражения для так же совпали с результатами Френеля и тоже называются формулами Френеля.
4. Коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности. Так как интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды, , то коэффициенты по интенсивности равны квадрату соответствующего коэффициента по амплитуде.
(17.17)
Коэффициенты пропускания по интенсивности и выразим через коэффициенты отражения и , исходя из закона сохранения энергии (17.18)
При падении на границу раздела двух сред неполяризованного света его интенсив-ность I может быть представлена как сума интенсивностей двух его компонент, . Здесь - интенсивность компоненты, вектор которой колеблется в плоскости падения, - интенсивность компоненты, вектор которой перпендикулярен плоскости падения.
В силу случайной ориентации плоскостей колебании отдельных цугов обе этих компоненты равноправны, . Отсюда можно найти суммарный коэффициент отражения по интенсивности неполяризованной волны, падающей на границу раздела сред. (17.19), (17.20)
|
|
5. Закон Брюстера. Если a + b = 90°, то tg(a + b) = ∞, а . Следовательно, если луч естественного света падает на границу раздела сред под углом a = 90°– b, то в отражен-ном луче будут присутствовать только те волны, вектор которых перпендикулярен плоскости падения и отражаться будет полностью поляризованная волна. Угол полной поляризации из закона преломления. (17.21)
Угол падения, при котором отраженный от диэлектрика свет полностью поляризован, открыл экспериментально в 1815 году Дэйвид Брюстер. Поэтому формулу называют законом Брюстера, а угол полной поляризации aБ – углом Брюстера.
6. Поляризаторы – это устройства, позволяющие выделить из пучка естественного света поляризованную в одной плоскости компоненту.
R @0,45В качестве поляризатора может использоваться обычная стеклянная пластина, на которую свет падает под углом Брюстера (рис 149). Это так называемое зеркало Малюса. Недостаток зеркала Малюса – низкая интенсивность отраженного поляризованного пучка.
Для увеличения светосилы поляризатора А. Столетов предложил использовать в качестве зеркала Малюса не черное, а прозрачное стекло, складывая несколько пластинок в стопу (рис 150). Поскольку толщина пластинок много больше длины когерентности естественного света, то отраженные от пластинок лучи не интерферируют, а их интенсивности просто складываются. За счет этого коэффициент отражения стопы Столетова приближается к 50%.
7. Закон Малюса. Чтобы убедится в том, что свет поляризован, нужно на его пути поставить второй поляризатор, называемый в этом качестве анализатором (рис.151).
В 1810 году Этьен Малюс нашел закон изменения интенсивности линейно поляризованного света после его прохождения через анализатор. I = I 0cos2 j. (17.22)
Здесь I 0 - интенсивность линейно поляризованного света, падающего на анализатор, j – угол между плоскостью поляризации света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.
|
|
Закон Малюса вытекает из того, что через анализатор проходит составляющая вектора E 0 падающей волны, приходящейся на плоскость пропускания анализатора АА (рис.152). Очевидно, E = E 0cos j. Но интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды вектора E. Следовательно: I 0 = kE 02, I = kE 2 = kE 02cos2 j = I 0cos2 j. Здесь k – коэффициент пропорциональности.
8. Отражение нормально падающих на поверхность лучей. При проектировании оптических приборов важно знать коэффициент отражения падающих нормально границе раздела сред лучей. Подстановка a = b = 0приводит в формулах Френеля к неопределенности 0/0. Поэтому преобразуем формулу для R (17.20) к малым углам a и b, близким к нулю.
При малых a и . Отсюда: (17.23)
Т.к. , b = açn 12, (17.24)
Кривая зависимости коэффициента отражения света R от границы раздела сред симметрична относительно ординаты, соответствующей n 2 çn 1 = 1 (рис.153). Это значит, что коэффициент отражения не зависит от того, с какой стороны падает на границу свет.
Чем больше отношение n 2 çn 1, то есть чем сильнее отличаются среды, тем больше коэффициент отражения R. С ростом показателя преломления диэлектрика коэффициент отражения лучей от их поверхности, граничащей с воздухом, растет. От стекла с n = 1,5 отражается 4 % энергии падающих лучей, а от алмаза с n = 2,4 отражается 17 %. Сквозь двухлинзовый объектив, изготовленный из тяжелого флинта с n = 1,75, проходит всего лишь 70 % падающего света. Отсюда становится понятно, как велико положительное значение просветляющих покрытий.
С увеличением угла падения лучей a коэффициент отражения монотонно растет от минимального значения, соответствующего нормальному падению лучей (формула 17.24) до 1 при a = 90° (рис.154). Поэтому зеркальные отражения низких берегов в спокойных водоемах почти так же ярки, как сами берега. Отражение в воде заходящего солнца так же почти не уступает по яркости самому солнцу.
На рисунке 154 слева показаны теоретические кривые для коэффициентов отражения видимого света от стекла (n = 1,5), а справа – от воды (). Внизу на графиках указанны углы a падения луча в градусах.