Общее уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

    Основным уравнением квантовой механики, описывающим состояние и взаимодействие микрочастицы с внешним полем является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения Ньютона не могут быть получены теоретически, а являются обобщением опытных фактов, уравнение Шредингера тоже не может быть получено из известных ранее соотношений. Это результат гениальной догадки Шредингера. Она описывает поведение волновой функции в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U. Волновая функция может быть найдена как решение уравнения Шредингера

,                                        (64)

где i – мнимая единица, U – потенциальная энергия. m – масса микро-частицы, Δ – оператор Лапласа

.

Уравнение (64) называют общим уравнением Шредингера или уравнением Шредингера с временем.

Как видно из уравнения (64), вид волновой функции определяется потенциальной энергией. Потенциальная энергия есть функция координат и времени. Если потенциальная энергия не изменяется со временем U(x,y,z) (состояние стационарно), то волновая функция распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

,

где Е – полная энергия частицы. Подстановка этого выражения в (64) дает

.

Сократив это выражение на , получаем уравнение

, (65)

которое называется уравнением Шредингера для стационарных состояний или уравнением Шредингера без времени.