Содержание
Содержание. 1
1. Исходные данные. 2
2. Определение порядка интегрируемости. 2
2.1. Определение порядка интегрируемости для ряда с данными об инфляции. 2
2.2. Определение порядка интегрируемости для ряда с данными о процентной ставке. 2
3. Построение модели ARIMA для ряда с данными об инфляции. 2
3.1. Построение прогноза. 2
4. GARCH эффект. 2
5. Тест на коинтеграцию по методологии Engle-Granger’a. 2
6. Тест Granger’a на причинность. 2
8. Модель VAR / VECM. Тест Granger’a на причинность. 2
8.1. Построение VAR.. 2
8.2. Проверка на наличие коинтеграции в VAR.. 2
8.3. Построение VECM... 2
8.4. Тест Granger’a. 2
1. Исходные данные
Даны два ряда: показатели инфляции и процентной ставки в Германии с 1960 по 2005 год. Данные ежегодные, указаны на сайте http://www.fgn.unisg.ch/eurmacro/macrodata/datamtrx.html. Рассмотрим совместный график этих двух рядов:
Из графика можно видеть, что ряды изменяются похожим образом, из чего можно сделать вывод о том, что между ними может быть коинтеграция.
Определение порядка интегрируемости
Для определения порядка интегрируемости проведем расширенный тест Дики-Фулера для каждого из рядов.
Определение порядка интегрируемости для ряда с данными об инфляции
Процедура определения порядка интегрируемости состоит из нескольких шагов.
Шаг 1
Оценим уравнение d(inf) c tr inf(-1).
Dependent Variable: D(INF) | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 05/19/07 Time: 13:04 | ||||
Sample(adjusted): 1961 2005 | ||||
Included observations: 45 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 121.3967 | 51.85311 | 2.341166 | 0.0240 |
TR | -1.919613 | 1.349999 | -1.421937 | 0.1624 |
INF(-1) | -0.259627 | 0.098029 | -2.648461 | 0.0113 |
R-squared | 0.148132 | Mean dependent var | 0.800000 | |
Adjusted R-squared | 0.107567 | S.D. dependent var | 116.7886 | |
S.E. of regression | 110.3286 | Akaike info criterion | 12.30914 | |
Sum squared resid | 511240.9 | Schwarz criterion | 12.42959 | |
Log likelihood | -273.9557 | F-statistic | 3.651715 | |
Durbin-Watson stat | 1.547155 | Prob(F-statistic) | 0.034500 |
Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции с помощью встроенного теста Бреуша-Годфри. При вызове этого теста программа спрашивает, сколько лагов необходимо включить. Сейчас и в дальнейшем если отдельно не оговорено будем включать один лаг, так как данные ежегодные*.
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
F-statistic | 3.835438 | Probability | 0.057007 | |
Obs*R-squared | 3.849515 | Probability | 0.049760 | |
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 05/19/07 Time: 13:06 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 62.43069 | 59.45512 | 1.050047 | 0.2998 |
TR | -0.762536 | 1.363394 | -0.559293 | 0.5790 |
INF(-1) | -0.153246 | 0.122984 | -1.246068 | 0.2198 |
RESID(-1) | 0.379420 | 0.193737 | 1.958427 | 0.0570 |
R-squared | 0.085545 | Mean dependent var | 1.26E-14 | |
Adjusted R-squared | 0.018633 | S.D. dependent var | 107.7920 | |
S.E. of regression | 106.7830 | Akaike info criterion | 12.26416 | |
Sum squared resid | 467506.9 | Schwarz criterion | 12.42475 | |
Log likelihood | -271.9436 | F-statistic | 1.278479 | |
Durbin-Watson stat | 1.984889 | Prob(F-statistic) | 0.294478 |
В данном случае Prob=0,057, то есть, можно сказать, что на 5% уровне значимости автокорреляции нет.
Шаг 2
Проверим гипотезу о том, что тренда нет, а единичный корень есть.
Н0: (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0)
Н1: (μ, β, ρ) ≠ (μ, 0, 0)
Данную гипотезу будем проверять с помощью теста Вальда о коэффициентах. То есть проверим, что с(2)=с(3)=0.
Wald Test: | ||||
Equation: INF_PORYADOK | ||||
Null Hypothesis: | C(2)=0 | |||
C(3)=0 | ||||
F-statistic | 3.651715 | Probability | 0.034500 | |
Chi-square | 7.303431 | Probability | 0.025947 |
Для проверки данной гипотезы нельзя использовать стандартное распределение, поэтому на prob смотреть не будем, а будем пользоваться специальной статистикой Ф3, которая для данной регрессии составляет 6,73 (так как уровень значимости 5% и количество наблюдений 44).
Таким образом, 3,65<6,73, то есть нулевая гипотеза не отвергается.
Шаг 5
Так как не отвергается гипотеза о том, что (μ, β, ρ) = (μ, 0, 0), мы можем сказать, что существует единичный корень без тренда, но с возможным дрейфом. Можем убедиться, что ρ = 0. Для этого проверим следующую гипотезу:
Н0: ρ = 0
Н1: ρ ≠ 0
Так как тренда нет, нужно использовать нестандартную статистику τ.
Проверим с помощью теста Вальда, что с(3)=0
Wald Test: | ||||
Equation: Untitled | ||||
Null Hypothesis: | C(3)=0 | |||
F-statistic | 7.014345 | Probability | 0.011342 | |
Chi-square | 7.014345 | Probability | 0.008086 |
Таким образом, -2,93<7,01, то есть нулевая гипотеза не отвергается.
Шаг 6
Мы знаем, что (β, ρ) = (0, 0). Далее нужно определить, является ли данный процесс случайным блужданием с дрейфом или без. Для этого проверим гипотезу:
Н0: (μ, β, ρ) = (0, 0, 0)
Н1: (μ, β, ρ) ≠ (0, 0, 0)
С помощью теста Вальда проверим, что с(1)=с(2)=с(3)=0.
Wald Test: | ||||
Equation: INF_PORYADOK | ||||
Null Hypothesis: | C(1)=0 | |||
C(2)=0 | ||||
C(3)=0 | ||||
F-statistic | 2.435266 | Probability | 0.078070 | |
Chi-square | 7.305797 | Probability | 0.062764 |
Для проверки используем специальное распределение Ф2. Так как число наблюдений 44, и уровень значимости 5%, то Ф2=5,13
Таким образом, 2,43<5,13, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.
Шаг 7
Можно подтвердить результаты, о том, что данный ряд это случайное блуждание без дрейфа, проверив гипотезу о том, что (μ, ρ) = (0,0) для уравнения d(inf) c inf(-1). Оценим это уравнение:
Dependent Variable: D(INF) | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 05/19/07 Time: 14:33 | ||||
Sample(adjusted): 1961 2005 | ||||
Included observations: 45 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | 63.02613 | 32.05446 | 1.966221 | 0.0558 |
INF(-1) | -0.211334 | 0.093044 | -2.271326 | 0.0282 |
R-squared | 0.107123 | Mean dependent var | 0.800000 | |
Adjusted R-squared | 0.086358 | S.D. dependent var | 116.7886 | |
S.E. of regression | 111.6319 | Akaike info criterion | 12.31172 | |
Sum squared resid | 535852.3 | Schwarz criterion | 12.39201 | |
Log likelihood | -275.0136 | F-statistic | 5.158924 | |
Durbin-Watson stat | 1.542612 | Prob(F-statistic) | 0.028190 |
Проверим наличие автокорреляции:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
F-statistic | 3.625393 | Probability | 0.063770 |
Obs*R-squared | 3.575699 | Probability | 0.058631 |
На 5% уровне значимости автокорреляции нет.
Проверим гипотезу
Н0: (μ, ρ) = (0, 0)
Н1: (μ, ρ) ≠ (0, 0)
Проверим с(1)=с(2)=0 с помощью теста Вальда.
Wald Test: | ||||
Equation: INF_PORYADOK | ||||
Null Hypothesis: | C(1)=0 | |||
C(2)=0 | ||||
F-statistic | 2.580617 | Probability | 0.087412 | |
Chi-square | 5.161235 | Probability | 0.075727 |
Для проверки используем специальное распределение Ф1. Число наблюдение 44, уровень значимости 5%, то есть Ф1=4,86.
Таким образом, 2,58<4,86, то есть нулевая гипотеза не отвергается, таким образом, данный ряд является случайным блужданием без дрейфа.
То есть по результатам расширенного теста Дики-Фулера можно сказать, что ряд inf не стационарен и является, по крайней мере, первого порядка интегрируемости, то есть I(1).
Проведем расширенный тест Дики-Фулера для первой разности этого ряда.
Шаг 1
Оценим уравнение d(dinf) c dinf(-1), где dinf=d(inf).
Dependent Variable: D(DINF) | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 05/19/07 Time: 14:42 | ||||
Sample(adjusted): 1962 2005 | ||||
Included observations: 44 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | -0.914340 | 17.76357 | -0.051473 | 0.9592 |
DINF(-1) | -0.850200 | 0.152540 | -5.573637 | 0.0000 |
R-squared | 0.425173 | Mean dependent var | -2.750000 | |
Adjusted R-squared | 0.411486 | S.D. dependent var | 153.5690 | |
S.E. of regression | 117.8099 | Akaike info criterion | 12.42041 | |
Sum squared resid | 582925.6 | Schwarz criterion | 12.50151 | |
Log likelihood | -271.2490 | F-statistic | 31.06543 | |
Durbin-Watson stat | 1.945902 | Prob(F-statistic) | 0.000002 |
Тренд в уравнение не включаем, так как его нет для исходного ряда, то есть его не может быть и у первой разности данного ряда. Проверим данную регрессию на наличие автокорреляции.
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | |||
F-statistic | 0.568930 | Probability | 0.454995 |
Obs*R-squared | 0.602203 | Probability | 0.437739 |
Prob=0,45 то есть автокорреляции нет.
Шаг 2
Проверим гипотезу о наличии единичного корня.
Н0: (μ, ρ) = (μ, 0)
Н1: (μ, ρ) ≠ (μ, 0)
С помощью теста Вальда проверим, что c(2)=0
Wald Test: | ||||
Equation: Untitled | ||||
Null Hypothesis: | C(2)=0 | |||
F-statistic | 31.06543 | Probability | 0.000002 | |
Chi-square | 31.06543 | Probability | 0.000000 |
Используем для проверки гипотезы статистику Ф3=6,73 (как и в предыдущем шаге 2 для исходного ряда).
Таким образом, 6,73<31,06, то есть нулевая гипотеза отвергается, таким образом, единичного корня нет, то есть первая разность стационарна, и сам ряд первого порядка интегрируемости, то есть inf ~ I(1).