· Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид:
,
где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …), – орбитальное (азимутальное) квантовое число ( = 0, 1, 2, …, (n – 1)), m – магнитное квантовое число (m = 0, ±1, ±2, …, ± ), - радиальные функции, а - сферические функции.
Квантовые числа n, , m являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.
· Квантовое магнитное спиновое число ms (m s=±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.
· Принцип Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел n, , m, m s).
· Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10…, где числа (n = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …, а буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу ( = 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f - состояния (электронные подоболочки) атома, числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.
|
|
· Закон Мозли
,
где – характеристические частоты спектра; R=3,29∙10151/с – постоянная Ридберга; z – заряд ядра атома в относительных единицах;
σ - постоянная экранирования; m и n – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.
· При σ=0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов
.
При σ = 0 и z = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.
· Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулярного спектра
= (∆ Wэл. + ∆ Wкол. + ∆ Wвр.),
где ∆Wэл., ∆Wкол. и ∆Wвр. – разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней.
· Средняя энергия квантового одномерного осциллятора
,
где - нулевая энергия; - постоянная Планка; - круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура.
· Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов
,
где – молярная газовая постоянная; = – характеристическая температура Эйнштейна.
· Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)
(T << ),
где = - характеристическая температура Дебая.
· Распределение свободных электронов в металле по энергия при 0 К
|
|
,
где - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от Е до Е + dЕ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при Е < ЕF (ЕF – энергия или уровень Ферми).
· Энергия Ферми в металле при Т = 0 К
,
где n – концентрация электронов в металле.
· Средняя энергия электронов
.
· Удельная проводимость собственных полупроводников
,
где – ширина запрещенной зоны; - константа.
· Сила тока в p-n - переходе
,
где o – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n - переходу.
· Связь между глубиной потенциальной ямы и работой выхода из металла и полупроводника.
,
где - максимальная энергия электрона в яме.
· Внутренняя контактная разность потенциалов
,
где и - энергия Ферми соответственно для первого и второго металла или полупроводника; е - заряд электрона.
Задания
4.36.Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода, задается в декартовых координатах уравнением . Представьте: 1) собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 2) график потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; 3) возможные дискретные значения энергии на этом графике. 1) , n = 1, 2, 3, … 2), 3) См. рисунок справа. |
4.37. От каких квантовых чисел зависят соответственно радиальная и сферическая функции, входящие в волновую функцию связанных состояний атома водорода?
А. [n, ; ,m] B. [n,m; ,ms] C. [n, ms; ,n]
4.38.На рисунке справа схематически представлена система энергетических уровней атома водорода. Правилами отбора запрещены переходы: А. [3s→2s] B.[4s→3p] C. [2p→2s] D.[4f→3p] |
4.39. Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме водорода, запишите переходы, приводящие к возникновению серии Бальмера.
A. [ns→2p; nd→2p] (n = 3, 4, …) B. [np→1s] (n = 2, 3, …)
C. [nf→3d] (n = 4, 5, …)
4.40.Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с = 1 и = 2.
|
4.41. Нормированная волновая функция, описывающая 1s – состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где – первый боровский радиус. Определите среднюю потенциальную энергию электрона в поле ядра.
[ – 27,2 эВ]
4.42. Определите, во сколько раз орбитальный момент импульса электрона, находящегося в d – состоянии, больше, чем для электрона в
p – состоянии.
А. [1,73] B. [2,43] C. [∞] D. [3,33]
4.43. Запишите электронную конфигурацию атома фосфора с вакансией в 2p – подоболочке.
А. [1s2 2s2 2p5 3s2 3p3] B. [1s2 2s2 2p6 3s2 3p2] C. [1s2 2s2 2p6 3s1 3p3]
4.44. Запишите квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома алюминия.
А. [n = 3, = 1, m = 0, ±1; ms = ±1/2]
B. [n = 3, = 0, m = 0; ms = ±1/2]
4.45. Определите наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает при напряжении U = 30 кВ.
А. [41,3 пм] B. [20,6 пм] C. [10,3 пм] D. [8,3 пм]
4.46. Считая, что формула закона Мозли с достаточной степенью точности дает связь между характеристическими частотами рентгеновского спектра и порядковым номером элемента, из которого сделан антикатод, найдите наибольшую длину волны К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом из: 1) железа, 2) меди, 3) молибдена, 4) серебра, 5) тантала, 6) вольфрама, 7) платины. Для К – серии постоянная экранирования = 1.
[1) 194 пм; 2) 154 пм; 3) 71,2 пм; 4) 56,3 пм; 5) 22 пм; 6) 21,4 пм;7) 19 пм]
4.47. Определите постоянную экранирования для L – серии рентгеновских лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с М – на L – слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 143 пм.
|
|
А. [ = 5,5] B. [ = 0] C. [ = 1] D. [ = 0,5]
4.48. Определите порядковый номер элемента в периодической системе элементов Д.И. Менделеева, если граничная (наибольшая) частота К – серии характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55∙1018 Гц.
А. [z = 42, молибден] В. [z = 56, барий]
4.49. При переходе электрона в атоме с L – на К – оболочку испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 78,8 пм. Какой это атом? Для К – серии постоянная экранирования = 1.
А. [z = 40, цирконий] В. [z = 53, йод] С. [z = 30, цинк]
4.50. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 4 раза меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому принадлежит данный спектр.
А. [z = 2, гелий] В. [z = 3, литий] С. [z = 4, бериллий]
4.51. Молекулярные спектры состоят из трех видов полос:
1) вращательных; 2) колебательно-вращательных и 3) электронно-колебательных, которые в свою очередь состоят из большого числа тесно расположенных линий. В эксперименте и в теории проявляется значительное различие в разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней, между которыми разрешены переходы электрона в соответствии с правилами отбора, причем ∆Wэл.>∆Wкол.>∆Wвр. Определите, какие полосы будут наблюдаться соответственно на 1) длинноволновой и 2) коротковолновой границах молекулярного спектра при возбуждении всех приведенных выше полос полосатого спектра молекулы.
А. [1) вращательные; 2) электронно-колебательные]
В. [1) колебательно-вращательные; 2) электронно-колебательные]
С. [1) вращательные; 2) колебательно-вращательные]
4.52. Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~ 10-3 с. Учитывая, что постоянная Планка
= 0,66∙10-15 эВ, определите ширину метастабильного уровня.
А. [0,33∙10-12 эВ] В. [1,5∙10-12 эВ]
С. [0,33∙10-18 эВ] D. [1,5∙10-18 эВ]
|
|
4.53. Система, состоящая из N = 1020 трехмерных осцилляторов, находится при температуре ( = 250 К). Определить энергию системы.
А. [1,49 Дж] В. [0,49 Дж] С. [2,49 Дж] D. [1,20 Дж]
4.54. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определите удельную теплоемкость при постоянном объеме алюминия при температуре 200 К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.
А. [770 Дж/кг∙К] В. [257 Дж/кг∙К] С. [1540 Дж/кг∙К]
4.55. Определите теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры T1 = 4 К до температуры T2 = 5 К. Принять характеристическую температуру Дебая для калия = 100 К и считать условие T << выполненным.
А. [0,92 Дж] В. [1,84 Дж] С. [0,31 Дж] D. [9,2 Дж]
4.56. Определите в электронвольтах максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле калия, характеризуемом температурой Дебая = 100 К.
А. [0,0086 эВ] В. [0,025 эВ] С. [0,03 эВ] D. [0,0043 эВ]
4.57. Оцените среднюю энергию свободных электронов в металлах при абсолютном нуле температур, если средняя концентрация электронов проводимости в металлах составляет 5∙1028 м-3.
А. [3 эВ] В. [5 эВ] С. [6 эВ] D. [9 эВ]
4.58. Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре Т = 0 К. Чему будет равна возникшая контактная разность потенциалов? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал? ( Li = 0,53∙103 кг/м3; Zn = 7,15∙103 кг/м3).
A. [U12 = 0,8 B; Li] B. [U 12 = 0,01 B; Zn]
C. [U 12 = 8 B; Li] D. [U 12 = 0,1 B; Zn]
4.59. Докажите, что уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны.
A. [EF = ] B. [EF = ] C. [EF = ]
4.60. Кремниевый образец, ширина запрещенной зоны в котором равна 1,1 эВ, нагревают от температуры t1 = 0 оС до температуры t2 = 10 оС. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость ?
A. [в 2,28] B. [в 0,23] С. [в 22,8] D. [в 1,14]
4.61. При нагревании германиевого кристалла от температуры 0 оС до температуры 10 оС его удельная проводимость возрастает в 1,49 раза. По приведенным данным определите ширину запрещенной зоны кристалла германия.
А. [0,72 эВ] В. [1,1 эВ] С. [1,5 эВ] D. [4,7 эВ]
4.62. Предположим, что p - n – переход находится при 0 оС и при прямом напряжении 0,1 В, a его сопротивление равно 10 Ом. Каково сопротивление перехода, если поменять полярность напряжения?
А. [692 Ом] В. [6920 Ом] C. [69,2 Ом] D. [138,4 Ом]
4.63. Прямое напряжение, приложенное к p - n – переходу, равно
0,1 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от Т1 = 300 К до Т 2 = 273 К?
[ = 1,1]
4.64. Глубина потенциальной ямы U металла составляет 10 эВ, а максимальная энергия электрона Еmax, отсчитанная от дна ямы, равна
6 эВ. Определите уровень Ферми ЕF и работу выхода А электрона в этом металле.
А. [ЕF = 6 эВ; А = 4 эВ] В. [ЕF = 4 эВ; А = 6 эВ] C. [ЕF = 3 эВ; А = 2 эВ]
4.65. На рисунке изображены зонные схемы полупроводников разного типа проводимости. Какая схема соответствует полупроводникам p – типа и n – типа примесной проводимости и собственной проводимости.
A. [c, b, a] B. [a, b, c] C. [b, a, c] D. [c, a, b]