Теорема Гаусса-Маркова (формулировка, смысл условий и вывода)

Рассматривается модель парной регрессии, в которой наблюдения Y связаны с X следующей зависимостью: Yi = β₁ + β₂Xi + εi. На основе n выборочных наблюдений оценивается уравнение регрессии . Теорема Гаусса—Маркова гласит:
Если данные обладают следующими свойствами:
Модель данных правильно специфицирована;
Все Xi детерминированы и не все равны между собой;
Ошибки не носят систематического характера, то есть ;
Дисперсия ошибок одинакова и равна некоторойσ²;
Ошибки независимы, то есть ;

— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов эффективны в классе линейных несмещенных оценок:

Линейность оценок показана выражением Также

А). Оценки яв-ся несмещенными, т.е. Eb^~=b и Eâ=a

Док-во: ввдем w_t=x_t/∑x_s². При этом ∑w_t=0; ∑w_tx_t=1; ∑w_t² =1/∑x_t²; b^~=b+∑w_tε_t. Таким образом

Б). Оценки яв-сясостоятельными.

Условие - В качестве доказательства состоятельности оценок приведем формулы элементов ковариационной матрицы вектора b^~, из которых видно, что дисперсии несмещенных оценок параметров с ростом объема выборки стрем-ся к 0:

Т.е. ↑ объема выборки приводит к устойчивости оценок коэф-в ур-ия. Сч-ся, что объем выборки должен удовл-тьсоот-ию n>3m-1, где m-кол-во объясняющих переем-х.

В). Оценки эфф-ны, т.е. они имеют наименьшую дисп-ию разброса отн-но теорет-х вел-н по сравнению с такими же оценками полученных с примен-м и люб др методов расчета. Эффективность оценки определяется критерием вида