Доверительный интервал -2. Интервал для генерального среднего

Целью наших рассмотрений является получение оценки генерального среднего µ при условии, что располагаем мы всего лишь одной выборкой.

Мы ранее получили следующий результат: если значение генерального среднего равно µ, а оценка стандартного отклонения для распределения средних равна , то среднее  произвольной выборки данного объема будет:

- находится в интервале (µ − 1,96 , µ + 1,96 ) с вероятностью 95%

- находится в интервале (µ − 2,58 , µ + 2,58 ) с вероятностью 99%.

Однако разобранная нами ситуация не реальна, в действительности ведь все обстоит прямо наоборот: реально мы располагаем средним одной выборки  и оценкой стандартного отклонения для распределения средних , а интервал, в котором расположено генеральное среднее µ нам как раз необходимо найти.

Для этого попробуем осознать тот факт, что фраза: «Число х принадлежит интервалу (а – ε, а + ε)» эквивалентна утверждению «расстояние между числами а и х меньше, чем ε».

Но это означает, что утверждения «Число х принадлежит интервалу (а – ε, а + ε)» и «Число а принадлежит интервалу (х – ε, х + ε)» также эквивалентны, т.е. всегда либо оба они верны, либо оба они ложны – принцип взаимности. Соответственно и утверждения «среднее  находится в интервале (µ − 1,96 , µ + 1,96 )» и «генеральное среднее µ находится в интервале (  − 1,96 ,  + 1,96 )» также эквивалентны.

Таким образом, мы можем подвести итог.

Пусть мы сделали выборку объёма n из генеральной совокупности, причем этот объём достаточно велик для того, чтобы мы могли считать, что распределение выборочных средних при таком объёме выборки близко к нормальному.

Для этой выборки мы подсчитали выборочное среднее  и .

Тогда мы можем утверждать, что генеральное среднее µ:

- находится в интервале (  − 1,96 ,  + 1,96 ) с вероятностью 95%

- находится в интервале (  − 2,58 ,  + 2,58 ) с вероятностью 99%.

Т.е. сделав всего одну выборкуи подсчитав  и  мы получаем интервальную оценку для среднего генеральной совокупности – что и было нашей целью.

Интервалы типа (  − с ,  + с ), где с – числовой коэффициент, называются доверительными интервалами, а соответствующие им вероятности доверительными вероятностями.

Часто вместо доверительных вероятностей используют величины, дополняющие их до 100% (до единицы – если вероятности выражены в десятичных дробях, а не в процентах), такие величины называются уровнями значимости. Так доверительной вероятности в 95% (в дробях – 0,95), отвечает уровень значимости в 5% (0,05).

Сделаем еще одно важное замечание. Для больших выборок характер распределения средних всегда близок к нормальному. Но если сами варианты распределены нормально, оказывается распределение средних можно описать точно.

В этом случае они подчиняются так называемому распределению Стьюдента. Характер распределения Стьюдента зависит от объема выборки. Для выборок, содержащих 50 и более вариант, различия между распределениями Гаусса и Стьюдента уже практически не существенны. Для не очень больших объемов выборки в этом случае применяют несколько иной способ нахождения доверительного интервала.

По специальным таблицам распределения Стьюдента определяют величины коэффициентов с, которые обеспечивают попадание в интервал (  − с ,  + с ) с вероятностями 95% и 99% (уровни значимости в 5% и в 1%).

В таблицах приводятся величины этих коэффициентов в зависимости от объема выборки.