Решение типовых задач

 

Задача 3.1 Имеются данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ.

Таблица 3.1.1

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
2007	I	1	375
	II	2	371
	III	3	869
	IV	4	1015
2008	I	5	357
	II	6	471
	III	7	992
	IV	8	1020
2009	I	9	390
	II	10	355
	III	11	992
	IV	12	905
2010	I	13	461
	II	14	454
	III	15	920
	IV	16	927

 

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Необходимо рассчитать компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проводится выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Суммируются уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, находятся скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Необходимо привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находятся средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Таблица 3.1.2

№ квартала, t	Количество правонарушений yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	375	–	–	–	–
2	371	2630	657,5	–	–
3	869	2612	653	655,25	213,75
4	1015	2712	678	665,5	349,5
5	357	2835	708,75	693,75	-336,75
6	471	2840	710	709,375	-238,375
7	992	2873	718,25	714,125	277,875
8	1020	2757	689,25	703,75	316,25
9	390	2757	689,25	689,25	-299,25
10	355	2642	660,5	674,875	-319,875
11	992	2713	678,25	669,375	322,625
12	905	2812	703	690,625	214,375
13	461	2740	685	694	-233
14	454	2762	690,5	687,75	-233,75
15	920	–	–	–	–
16	927	–	–	–	–

Шаг 2. Находятся оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Эти оценки используются для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 3.1.3

Показатели	Год	№ квартала,
		I	II	III	IV
	2007	–	–	213,75	349,5
	2008	-336,75	-238,375	277,875	316,25
	2009	-299,25	-319,875	322,625	214,375
	2010	-233	-233,75	–	–
Всего за i -й квартал		-869	-792	814,25	880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i -го квартала,		-289,667	-264	271,417	293,375
Скорректированная сезонная компонента, Si		-292,448	-266,781	268,636	290,593

Для данной модели имеем:

-298,667-264+271,417+293,375=11,125.

Корректирующий коэффициент: k=11,125/4=2,781.

Расчет скорректированных значений сезонной компоненты ().

Проверка равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-292,448-266,781+268,636+290,593=0.

     Шаг 3. Исключается влияние сезонной компоненты, путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаются величины T+E=Y-S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

 

Таблица 3.1.4

t	yt	Si	yt - Si	T	T+S	E= yt-(T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	375	-292,448	667,448	672,700	380,252	-5,252	27,584
2	371	-266,781	637,781	673,624	406,843	-35,843	1284,721
3	869	268,636	600,364	674,547	943,183	-74,183	5503,117
4	1015	290,593	724,407	675,470	966,063	48,937	2394,830
5	357	-292,448	649,448	676,394	383,946	-26,946	726,087
6	471	-266,781	737,781	677,317	410,536	60,464	3655,895
7	992	268,636	723,364	678,240	946,876	45,124	2036,175
8	1020	290,593	729,407	679,163	969,756	50,244	2524,460
9	390	-292,448	682,448	680,087	387,639	2,361	5,574
10	355	-266,781	621,781	681,010	414,229	-59,229	3508,074
11	992	268,636	723,364	681,933	950,569	41,431	1716,528
12	905	290,593	614,407	682,857	973,450	-68,450	4685,403
13	461	-292,448	753,448	683,780	391,332	69,668	4853,630
14	454	-266,781	720,781	684,703	417,922	36,078	1301,622
15	920	268,636	651,364	685,627	954,263	-34,263	1173,953
16	927	290,593	636,407	686,550	977,143	-50,143	2514,320

Шаг 4. Определение компоненты T данной модели. Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T=671,777+0,9233*t.

     Подставляя в это уравнение значения t=1,2,…,16, находятся уровни T для каждого момента времени.

Шаг 5. Находятся значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого к уровням T прибавляются значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Для оценки качества построенной модели применяется сумма квадратов полученных абсолютных ошибок.

    

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2011 года. Прогнозное значение  уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

    

Получим

    

    

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S₁=-292,448 и S₂=-266,781. Таким образом,

    

    

Т.е., в первые два квартала 2011 г. следует ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

 

Задача 3.2 На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в таблице 3.2.1.

Таблица 3.2.1

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь	-1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	-0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	-3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

.

При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени (t от 1 до 36 мес.).

Требуется:

· определить значение сезонной компоненты за декабрь;

· на основе постоянной модели дать прогноз, заключенных в течение 1 квартала следующего года.

 

Решение:

Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна 0 (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

S₁₂ = 0 – (-1 + 2 – 0,5 + 0,3 – 2 – 1,1 + 3 + 1 +2,5 + 1 – 3) = - 2,2.

Прогнозное значение уровня временного ряда F_t в аддитивной модели есть сумма трендового значения T_t и соответствующего значения сезонной компоненты S_t.

Число браков, заключенных в 1 квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F₃₇, феврале F₃₈ и марте F₃₉.

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

 

S1=-1 S2=2 S3=-0,5

Январь Февраль Март

 

Таким образом,

 

Количество браков, заключенных в 1 квартале следующего года, составит: 2,61 +5,64 + 3,17 = 11,42 тыс.