Энергия колебаний. Закон сохранения энергии при колебании

Энергия при гармоническом колебании

Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:

, (4)

где k = m*w₀ ².

Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):

E_П. (5)

Складывая (4) и (5), с учетом соотношения , получим:

E = E_K + E_П = . (6)

Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.

Сложение гармонических одинаково направленных колебаний.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (А ₁ ≠ А ₂, φ₀₁ ≠ φ₀₂):

, .

Результирующее движение, равное сумме колебаний х ₁ и х ₂, будет гармоническим колебанием той же циклической частоты ω:

.

Определим амплитуду и начальную фазу результирующего колебания методом векторных диаграмм. Для этого проведем из точки О векторы и под углами φ ₀₁ и φ ₀₂ к оси Ох и приведем их во вращение с угловой скоростью ω.

Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол φ ₂ – φ ₁ между ними все время остается неизменным. Проекции векторов и на ось Ох совершают гармонические колебания. Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось Ох вектора , полученного из векторов и по

правилу параллелограмма. Из построения на рисунке следует, что , .

Биения.

Биения – это колебания, которые возникают в результате сложения двух гармонических колебаний х₁ и х₂ одного направления с близкими частотами (ω₂, ω₁ >> ∆ω = ω₂ – ω₁):

.

Рассмотрим подробнее результаты сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: А ₁ = А ₂ = А. Используя известную формулу сложения косинусов, получим:

и определим: