Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f (x)≥0, где x [ a; b ], f ʹ (x) С[ a; b ].
Требуется найти площадь S поверхности вращения кривой АВ вокруг оси Оx.
Вычисление площади на основе метода дифференциалов.
1. Через точку x [ a; b ] проводим плоскость Π1 (Π1 Ох). Пересечение тела плоскостью – окружность радиусом у = f (x).
2. Часть поверхности, лежащей слева от Π1 является функцией от x:
s = s (x) (s (a)=0, s (b)= S).
3. Дадим аргументу x приращение
∆ x = dx, x +∆ x [ a; b ].
Через точку x +∆ x проводим плоскость Π2 (Π2 Ох). Функция s (x) получает приращение ∆ s.
4. Находим дифференциал площади ds, заменяя образованную между Π1 и Π2 фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований – у и у + dу.
Площадь боковой поверхности равна
ds = π(у + у + dу) dl = 2π уdl + π dуdl,
где dуdl – бесконечно малая высшего порядка, чем ds.
Тогда
ds = 2π уdl = ,
( - длина дуги).
5. Площадь поверхности вращения:
. (1)
Пусть кривая АВ задана параметрически
t [α;β],
где x (t), y (t) С[α;β], xʹ (t), yʹ (t) С[α;β]; x (α)= a, y (β)= b.
В этом случае
. (2)
Пример 8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
Решение ▼ Поверхность шара образована вращением полуокружности
, x [– R; R ]
вокруг оси Ох.
По формуле (1)
.
▲
На основе определенного интеграла находятся:
- работа переменной силы;
- путь, пройденный телом;
-давление жидкости на вертикальную пластину;
-координаты центра тяжести плоской фигуры.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Формула трапеций
Пусть f (x) С[ a; b ]. Требуется вычислить определенный интеграл
,
численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.
1. Отрезок [ a; b ] разбиваем на n равных частей длиной
.
Абсциссы точек деления a = x 0, x 1, x 2,…, xn = b:
xi = a + hi.
Значения функции в точках деления: y 0 = f (a), y 1 = f (x 1),
y 2 = f (x 2), …, yn = f (b).
2. Кривую y = f (x) заменяем ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат yi и yi +1, .
3. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi, yi +1 и высотой h:
или
. (1)
Выражение (1) называется формулой трапеций.
Пусть
-
- абсолютная погрешность приближения по формуле (1).
Известно, что
,
где .
Для линейной функции y = kx + b абсолютная погрешность Rn =0.
Формула парабол (Симпсона)
Если график функции y = f (x) заменить дугами парабол между точками yi –1, yi, yi +1, то получится более точная формула вычисления интеграла.
1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой
y = ax 2 + bx + c,
сбоку – прямыми x = – h, x = h, снизу – отрезком [– h; h ].
Пусть парабола проходит через три точки
М1(– h; у 0), М2(0; у 1), М3(h; у 2),
где у 0= ah 2 – bh + c, у 1= c, у 2= ah 2 + bh + c. (2)
Площадь равна
Выражаем S через h, у 0, у 1, у 2. Из (2) следует:
c = у 1, .
Тогда
. (3)
2. Находим формулу парабол для вычисления интеграла.
а). Отрезок [ a; b ] разбиваем на 2 n равных частей длиной
.
Абсциссы точек деления a = x 0, x 1, x 2,…, x 2 n –2, x 2 n –1, x 2 n = b:
xi = a + hi.
Значения функции в точках деления: y 0 = f (a), y 1 = f (x 1),
y 2 = f (x 2), …, y 2 n –2 = f (x 2 n –2), y 2 n –1 = f (x 2 n –1), y 2 n = f (b).
б). Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2 h.
На отрезке [ x 0; x 2] парабола проходит через три точки (x 0; y 0), (x 1; y 1), (x 2; y 2). По формуле (3):
,
,
…
.
в). Находим приближенное значение интеграла:
или
. (4)
Выражение (4) называется формулой парабол (или формулой Симпсона).
Абсолютная погрешность приближения по формуле (4) оценивается соотношением
,
где .
Формула (4) дает точное значение интеграла, если
y = a 0 x + a 1,
y = a 0 x 2 + a 1 x + a 2,
y = a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3,
так как .
Пример 1. Вычислить , если отрезок [0;2] разбивается на 4 части.
Решение ▼ f (x)= x 3.
a = x 0 =0, y 0 =0;
, ;
x 2 =1, y 2 =1;
, ;
b= x 4 = 2, y 4 = 8.
а). По формуле трапеций
.
б). По формуле Симпсона
.
Точное значение интеграла
.
▲