Оцінка випадкової похибки вимірювання

Згідно теорії похибок, яка ґрунтується на теорії ймовірності випадкові похибки підкоряються закону нормального розподілу Гауса, для якого функція густини розподілу випадкових величин виражається формулою

, де  - абсолютна похибка вимірювання;  - середнє арифметичне значення вимірюваної величини, що приймається найбільш ймовірним значенням вимірюваної величини; - середня квадратична похибка або середнє квадратичне відхилення окремого вимірювання:

Закон розподілу Гауса характеризує сукупність всіх можливих значень х_і випадкової величини і відповідних їм ймовірностей р_і= р_і(х_і) того, що випадкова величина приймає значення, рівне х_і. Ймовірність р визначається формулою:

.

Таким чином, за допомогою закону розподілу можна визначити, з якою ймовірністю р, випадкова величина, істинне значення якої х, потрапляє в інтервал значень:

, тобто

 або

Ймовірність р, з якою проводиться вимірювання, тобто ймовірність того, що значення випадкової величини потрапляє в певний числовий інтервал, називається довірною ймовірністю або коефіцієнтом надійності. Інтервал значень, в якому з заданою довірною ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини, називається довірним інтервалом або інтервалом надійності.

Як видно із малюнка, гаусова крива, що має на графіку симетричний відносно максимуму вигляд, характеризується положенням максимуму -  і “шириною” довірного інтервалу 2 - віддалю між точками перегину. Чим більша ширина довірного інтервалу, тим вища ймовірність потрапляння дійсного значення вимірюваної величини х до цього інтервалу. Так, в лабораторній практиці довірна ймовірність приймається рівною р =0,95, що означає, що ймовірність відхилення дійсного значення величини від положення максимуму гауссової кривої, що відповідає середньому арифметичному значенню не більше, ніж на 2 (див. мал.), тобто при багаторазових вимірах похибка х_іст в 45 випадках із 100 не перевищує . Теорія методу Гаусса показує, що нескінченне збільшення числа вимірювань не дає помітного збільшення точності. Тому не доцільно, а інколи і не можливо проводити велику кількість вимірювань для визначення однієї величини. Кількість необхідних вимірювань визначається співвідношенням величини інструментальної і випадкової похибок. В навчальних лабораторіях, як правило, кількість вимірів 5-10. В цьому випадку для визначення випадкової похибки застосовують метод коефіцієнтів Стьюдента.

Коефіцієнт Стьюдента t _n,р дають можливість визначити, як змінюється ймовірність p в залежності від числа вимірювань n.

Таблиця коефіцієнтів Стьюдента.

З врахуванням коефіцієнтів Стьюдента випадкова похибка результату, що визначає на півширину довірного інтервалу відносно середнього значення вимірюваної величини обчислюються за формулою:

, де,  - коефіцієнт Стьюдента,

S_n  – середня квадратична похибка кінцевого результату досліду. Як показує теорія похибок:

Тоді основна формула для обчислення випадкових похибок прямих вимірювань набирає вигляду: