1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0;1], т.е.
0£F(x) £1 (4)
Доказательство:
Так как по определению F(x) - это вероятность Р(Х<х), а вероятность всегда есть число неотрицательное, не превышающее 1.
2. F(x)- функция неубывающая, т.е.
F(x2) ³ F(x1), если x2 > x1
Доказательство:
Рассмотрим событие Х<х2. Оно может быть представлено в виде суммы двух несовместных событий, т.е. (или Х<х1, или х1£Х<х2).
х1£Х<х2
Применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий.
Р (Х<х2)= Р (Х<х1)+ Р (х1£Х<х2)
отсюда
Р (Х<х2)-Р (Х<х1)=Р (х1£Х<х2) или
F(x2) -F(x1) = Р (х1£Х<х2) (*)
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то:
F(x2) -F(x1)³ 0 или F(x2) ³ F(x1).
Следствие 1. Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал.
Вероятность того, что СВ Х примет значение, заключенное в интервале ] a;b [ равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е.
|
|
P(α£X<b)=F(α)-F(b) (5)
Это следует из равенства (*) при Х1 = a Х2= b.
Следствие 2
Вероятность того, что непрерывная СВ примет одно определенное значение, равна нулю, т.е.
P(X=xi)=0 (6)
Доказательство:
Пусть Х- непрерывная СВ. Рассмотрим формулу 1 следствия:
Р(a £ Х<b) = F(b)- F(a).
Пусть a=Х1, а b= х1+ Dх. Тогда
Р(х1 £ х < х1+ Dх)= F(x1+ Dх) -F(x1).
Пусть Dх®0. Так как Х- непрерывная СВ, то функция F(x) - непрерывная. В силу непрерывности F(x) в точке х1 разность F(x1+ Dх) -F(x1) будет ®0 и, следовательно, [F(x1+ Dх) -F(x1)]=0;
а Р(х1 £ х < х1+ Dх)=Р (х=х1).
Итак, Р (х=х1)=0.
Используя это положение, можно доказать справедливость равенства.
Р(a £ Х<b)= Р(a < Х<b) = Р(a<Х£ b)=
= Р(a £ Х£ b) (7)
При определении вероятности того, что непрерывная и т.д. СВ попадет в интервал, можно не делать различия между случаями, когда концы интервала принадлежат или не принадлежат интервалу.
3. Если возможные значения СВ принадлежат отрезку [a;b], то:
1) F(x) =0 при х £ a
2) F(x) =1 при х> b.
Следствие: Если возможные значения непрерывной СВ расположены на всей оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:
F(x) =0;
F(x) =1
или
F(-¥)= 0, (8’)
так как событие (Х<-¥) = Æ и
F(+¥)=1, (8”)
так как событие (Х<+¥)=W.
4. Вероятность того, что СВ Х примет значение, большее или равное х, равна разности между единицей и функцией распределения при этом значении х. т.е. Р (Х³х)=1 - F(x) (9)
Доказательство:
События (Х³х) и (Х<х) - противоположные, поэтому
|
|
Р (Х³х)+ Р(Х<х)=1
Р (Х³х) =1- Р(Х<х),
т.е. Р (Х³х) =1- F(x)