Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0, (1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение

K ² + ρ K+q =0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К ₁ и К ₂.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ²–4 q уравнения (2) следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К ₁≠ К ₂), и общее решение имеет вид .
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К ₁= К ₂= К), и общее решение имеет вид:
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К ₁=α+β i, К ₂=α–β i, β≠0), имеет вид y = e ^{α x}(C ₁ cosβ x + C ₂ sinβ x).
Пример1. Найти общее уравнение y''–y' –2 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K ² –K –2=0, его корни К ₁=1, К ₂=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения

Имеетвид y = C ₁ e^x + C ₂ e ^{–2 x}.
Пример 2. Найти общее решение уравнения y'' –2 y' + y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–2 К +1=0, его корни К ₁ = К ₂=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y = e^x (C ₁+ C ₂ x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y'' –4 y' +13 y =0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К ²–4 К +13=0, его корни К ₁=2+3 i, К ₂=2–3 i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y = e ^{2 x}(C ₁ cos3 x + C ₂sin3 x).