Проанализируем функционирование одноканальной СМО с отказами. Пусть СМО включает в себя только один канал (n = 1), и на ее вход подается пуассоновский поток заявок Пвх, интенсивность которого in Пвх = l. В общем случае интенсивность входящего потока может изменяться во времени, быть, таким образом, функцией времени /; чтобы это подчеркнуть, вместо lпишут l(t).
Заявка, поступившая на вход в момент, когда канал занят обслуживанием, получает отказ и покидает систему.
Пусть (непрерывная) случайная величина Tоб — время обслуживания каналом одной заявки — распределена по показательному закону:
, (t≥0) (5.1)
с параметром l
Поток обслуживании (Поб), — поток обслуженных каналом заявок при условии, что канал не простаивает, т.е. занят обслуживанием непрерывно: по окончании обслуживания очередной заявки канал сразу же приступает к обслуживанию следующей.
Таким образом, время обслуживания каналом одной заявки Tоб является интервалом времени между двумя соседними событиями в потоке обслуживании Поб.
|
|
Из формулы (5.1) следует, что поток обслуживании Поб является простейшим с интенсивностью m: in Поб =m. Интенсивность m потока обслуживании Поб есть производительность канала. Имеет место равенство ; где – среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам, т.е. математическое ожидание М [ Тоб ] случайной величины Тоб.
Поток обслуживании Поб не следует путать с реальным выходящим потоком Пвых обслуженных каналом заявок, поскольку в последнем интервал времени между двумя соседними обслуженными заявками может включать в себя кроме времени обслуживания и время простоя канала.
Состояния СМО будем характеризовать простаиванием или занятостью ее канала. Тогда СМО может находиться в одном из двух состояний: S0 — канал свободен (простаивает); S1 — канал занят.
Переход системы из состояния S0 в состояние S1 происходит под воздействием входящего потока заявок Пвх, а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживании Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени события этого потока система туг же "перескакивает" в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в состояние S1 и обратно равны соответственно l и m. Поэтому размеченный граф состояний системы имеет вид, указанный на рисунке 5.2.
Размеченным графом состояний системы (в которой протекает случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем) называется схема, в которой состояния системы обозначаются квадратами (прямоугольниками, кругами), внутри которых помещается обозначение состояния, а стрелками указаны возможные непосредственные переходы из состояния в состояние, при этом у каждой стрелки указывается плотность вероятности перехода
|
|
Так как входящий поток заявок и поток обслуживании, переводящие СМО из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то в ней протекает марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем), который, учитывая структуру графа состояний (рисунок 5.2.), является одновременно и циклическим процессом и процессом "гибели и размножения".
Случайный процесс, протекающий в системе с n состояниями s1,..., sn, называется циклическим, если граф состояний этой системы имеет вид:
Рисунок – Графическая интерпретация определения циклического процесса
Случайный процесс, протекающий в системе с n состояниями s1,..., sn, называется процессом гибели и размножения, если граф состояний этой системы имеет вид:
Рисунок - Графическая интерпретация определения процесса гибели и размножения
Под размножением можно понимать процесс увеличения числа занятых каналов, т.е. переходы СМО из состояния в состояния по стрелкам слева направо, а гибель интерпретировать, как уменьшение числа занятых каналов, т.е. переходы системы по стрелкам справа налево.
Рисунок 5.2.— Схема процесса гибели и размножения для Одноканальной СМО.
Обозначим через р0(t) и p1(t) — вероятности событий, состоящих в том, что в момент времени t СМО находится соответственно в состояниях s0и s1 .Эти вероятности называются вероятностями состояний (см. [5], с. 42). Очевидно, что вероятности состояний для любого момента времени t удовлетворяют нормировочному условию:
, (5.2)
Вероятности состояний p0(t) и p1(t) являются основными характеристиками случайного процесса, протекающего в СМО. Так как этот процесс марковский, то вероятностные функции времени р0(t) и p1(t) можно найти изсистемы дифференциальных уравнений Колмогорова:
(5.3)
составляемой по одному из правил, данных в [5], с. 45, 46. В силу нормировочного условия (5.2) уравнения системы (5.3) зависимые, и потому одно из них, например второе, можно отбросить.
Из условия (5.2):
(5.4)
Подставив выражение (5.4) в первое уравнение системы (5.3), получим дифференциальное уравнение
, (5.5)
с неизвестной функцией р0(t). Это уравнение будем решать при естественномпредположении, что в начальный момент времени t=0 канал был свободен и, следовательно, начальные условия будут выглядеть так:
p 1(0) = 0 (5.6)
Для упрощения решения уравнения (5.5) предположим также, что входящий поток заявок Пвх - простейший, т.е. что пуассоновский поток Пвх является к тому же стационарным. Это означает, что интенсивность λпотока Пвх не изменяется с течением времени, т.е. является постоянной: . В этом случае , где - среднее время простаивания (свободного состояния) канала или, что то же самое, средний интервал времени между любыми двумя соседними заявками, поступающими на вход СМО (т.е. математическое ожидание М [Т пр ] непрерывной случайной величины Т пр пред ставляющей собой интервал времени между любыми двумя соседними заявками во входящем потоке Пвх).
Уравнение (5.5) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Из теории дифференциальных уравнений (например, см. [14], с. 56) известно, что общее решение такого уравнения имеет вид:
.
Отсюда
(5.7)
Подставим в равенство (5.7) первое из начальных условий (5.6) p0(0)=1, получим:
|
|
откуда .
С учетом найденного значения постоянной С равенство (5.7) принимает вид:
.
Тогда из равенства (5.4):
.
Итак, частным решением системы (5.3), удовлетворяющим начальным условиям (5.6), является
(5.8)
Так как , то функция р0(t) убывает.
А так как > 0, t > 0, то функция р0(t) выпукла вниз.
Аналогично из того, что > 0, t>0, мы делаем вывод о возрастании функции р1(t), а из того, что < 0, следует, что функция р1(t) выпукла вверх.
При t = 0 из системы (5.8) находим: р 0(0)= 1; р1 (0) = 0,
что соответствует начальным условиям (5.6). Так как из первого уравнения системы (5.8):
то прямая является горизонтальной асимптотой графикафункции р о (t). Аналогично из второго уравнения системы (5.8)
и потому прямая является горизонтальной асимптотой графика функции р 1 (t). Рассмотрим т р и случая:
случай 1: λ > µ
случай 2: λ = µ
случай 3: λ < µ
Построим в одной системе координат графики функций р о (t) и р 1 (t).
Случай 1. Так как λ > µ > 0, то > > 0, прямая лежит выше прямой и они лежат в верхней полуплоскости. Поэтому графики функций p0(t) и p1(t) пересекаются и пересекают соответственно прямые и . Асимптота отстоит от прямой y = 1 на расстоянии 1 - = , т.е. на таком же расстоянии, что и асимптота от горизонтальной оси координат. Абсциссу t1 точки А пересечения графика функции p0(t) с прямой находим из уравнения :
,
прологарифмировав это равенство, получим
откуда
Отметим, что в силу неравенства λ > µ отношение > 1 и потому существует и больше 0, а следовательно, t1 > 0.
Аналогичным образом из уравнения находим абсциссу точки В пересечения графика функции p1(t) с прямой и убеждаемся, что она равна абсциссе t1 (рис. 3.2). Таким образом, точки А и В лежат на одной вертикали.
Теперь найдем абсциссу t2 точки С пересечения графиков функций p0(t) и p1(t). Так как p0(t2) = p1(t2), то из нормировочного условия (5.2) заключаем, что p0(t2) = p1(t2) = 1/2. Тогда t2 можно найти, например, из уравнения p1(t2) = 1/2:
откуда
.
Сети СМО
При исследовании различных объектов управления часто встречаются с прохождением заявок последовательно через несколько систем обслуживания. Например, технологический процесс обработки деталей содержит 2 стадии, на каждой из которых производится обработка деталей на соответствующей группе оборудования (рис. 1.2). После второй СМО производится технический контроль, и заявки либо проходят на дальнейшую обработку (с вероятностью θ),
|
|
либо возвращаются на повторное выполнение операций (отбраковываются с вероятностью
1- θ).
Рис. 1.2. Пример сети СМО
В этом случае СМО образуют сеть, которая характеризуется связями между отдельными СМО и свойствами самих систем. Сеть СМО удобно представлять в виде графа передач (рис. 1.3), где вершины графа соответствуют СМО, дуги указывают возможности перехода заявки из одной СМО в другую, а числа в дугах - вероятности перехода.
Рис. 1.3. Граф передач
Рассмотрим сеть систем массового обслуживания, которая включает М СМО и один источник заявок. Заявки, выходящие из i -й системы (i =1,2,.. М) с постоянной вероятностью θij, поступают в систему j или покидают сеть (j=0). Из источника в j -ю систему заявки поступают с вероятностью θoj. Матрицу вероятностей поступления требований из одной системы в другую называют матрицей передач:
Т=
где θ00=0 - Циркулирование потока заявок в источнике,
Для графа передач, представленного на рис. 1.3, матрица передач будет следующей:
Т=
Для определения характеристик сети СМО необходимо определить интенсивности потоков заявок в каждой системе, т.е. среднее число заявок поступающих в систему за единицу времени в установившемся режиме λi . Среднее число заявок, покидающих систему, равно среднему числу поступающих заявок, и, следовательно,
В матричной форме это выражение:
λ=λТ.
Интенсивности потоков заявок в СМО зависят от λ0 следовательно можно определить:
λi = ai λ0, i = l, 2,..., т,
где λ0- интенсивность источника заявок (интенсивность потока, поступающего на вход сети).
Допустим, сеть замкнута, и в ней циркулирует конечное число заявок.
Тогда
Т=
Здесь интенсивности потоков определяются общим числом требований в сети. Выбрав некоторую СМО i0 за базовую, можно определить
Важной характеристикой сети СМО служит среднее время пребывания в ней заявки. Пусть сеть разомкнута. В установившемся режиме вероятность нахождения заявки в СМО определяется
Р = РТ
Сравнивая с λ = λ Т, получаем:
где pi: - вероятность нахождения заявки в j -и СМО.
Относительная частота прохождения требования через систему j за достаточно большой интервал времени t
где nj –число случаев, когда заявка оказалась в системе j;
N - общее число заявок, прошедших через сеть.
Тогда:
При достаточно большом интервале времени:
Таким образом, требования, поступающие из источника, aj раз проходят
через систему с номером j, прежде чем вернуться в источник. Следовательно,
где - среднее время пребывания заявки в СМО с номером j.
Сложность расчета сетей СМО заключается в том, что простейший поток заявок, поступающий в систему, на ее выходе в общем случае будет обладать последействием. А в этом случае нельзя применять рассмотренный выше аппарат анализа марковских СМО. Однако, если на всех приборах сети длительность обслуживания распределена по показательному закону, то выходящие из СМО потоки заявок будут пуассоновскими. Такие сети называются показательными.
Для показательных сетей существует установившийся режим, если для
каждой i -й СМО загрузка и этот режим представляет собой суперпозицию установившихся режимов (одновременность) составляющих систем, рассматриваемых как взаимно независимые и нагруженные источниками с пуассоновскими потоками с интенсивностями λi, таким образом, определив λi, для каждой системы, можно рассчитывать характеристики каждой отдельной СМО по полученным ранее формулам (подразделы 1.5.1 - 1.5.10).
Состояния сети можно задать вектором, каждая составляющая которого представляет собой число требований в соответствующей СМО:
Вероятность этих состояний сети в установившемся режиме обозначим
Для разомкнутых показательных сетей
где - вероятность ni -го состояния i-й СМО, рассчитанная при условии, что эта система нагружена пуассоновским источником с интенсивностью λi.