Моделирование сети СМО

Сеть СМО включает в себя несколько систем массового обслуживания, между которыми циркулируют потоки заявок с различной интенсивностью. Для анализа работы сети необходимо рассчитать интенсивности входных потоков заявок для каждой СМО по матрице передач.

 

Пример сети СМО

 

Собранные телевизионные приемники после сборки проходят серию ис­пытаний на станции технического контроля. Отбракованный телевизор отрав­ляют в цех наладки. После наладки телевизор возвращают на станцию контроля и снова проверяют. Телевизионные приемники попадают на станцию контроля в среднем каждые 5±2 мин. На станции находятся два контролера. Каждому из них требуется в среднем 9±3 мин на проверку изделия. Известно, что 85% теле­визоров проходят проверку успешно и попадают в цех упаковки. Остальные по­падают в цех наладки, в котором работает один наладчик. Наладка требует в среднем 30±10 мин.

Оценить, сколько мест на стеллажах контроля и в цехе наладки необхо­димо иметь. Определить убытки, связанные с наладкой телевизоров, если за­траты на наладку одного телевизора составляют 5 руб.

Модель проведения контроля и наладки телевизионных приемников мож­но представить в виде открытой сети массового обслуживания (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Структура сети СМО

 

Интенсивность входного потока λ₀ определяется как 1/Т₀, где Т₀- сред­нее время поступления телевизионных приемников на станцию контроля. Исхо­дя из того, что интенсивность выходного потока в стационарном состоянии должна равняться интенсивности входного потока, можно построить матрицу передач, по которой и рассчитываются интенсивности λ₁ и λ₂

 

Т=

Для того, чтобы сеть была стационарна, каждая СМО должна быть ста­ционарна, т.е. должны выполняться следующие условия:

 

где N - количество СМО в сети,

λ_i - интенсивность входного потока заявок а i -юСМО;

к_i - число каналов обслуживания в i -й СМО;

μ_i; - интенсивность обслуживания одного канала в i -й СМО.

 

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то сеть СМО не справится с потоком заявок. В этом случае необходимо увеличивать число каналов обслу­живания для соответствующей СМО.

Определим элементы модели (табл. 3.4).

                                                                                                                                            Таблица 3.4

Таблица элементов модели

Элементы	Интерпретация
Транзакты: 1-й сегмент модели   2-й сегмент модели Приборы: KONT NAL   Очереди: STEL QNAL   Точки входа: POVT   PACK	Поступление приемников на станцию контроля Таймер   Контролер Рабочий-наладчик     Стеллажи на станции контроля Стеллажи на цехе наладки     Направление приемников на повторный контроль после наладки Уход приемников в цех упаковки

 

 

Модель сети СМО

SIMULATE

KONT    STORAGE     2

GENERATE   5,2

POVT     QUEUE         STEL

ENTER          KONT

DEPART        STEL

ADVANCE     9,3

LEAVE           KONT

NRANSFER  .85,,PACK

QUEUE          QNAL

SEIZE             NAL

DEPART         QNAL

ADVANCE      30, 10

RELEASE        NAL

TRANSFER   ,POVT

PACK     TERMINATE

GENERATE     480

TERMINATE    1

START                  1

END

 

 

Заключение

 

В данном учебном пособии рассмотрены основные вопросы теории мас­сового обслуживания и различные способы исследования СМО. Основные ха­рактеристики СМО могут быть получены как с помощью решения систем ли­нейных уравнений, так и с помощью моделирования на ЭВМ. Аналитические методы исследования процессов, протекающих в СМО, дают более точные зна­чения характеристик, но существуют не для всех типов СМО. Напротив, моде­лирование на ЭВМ позволяет исследовать СМО любого типа, в стационарных и нестационарных режимах, но дает более приблизительные результаты. Способ исследования конкретной СМО выбирается в зависимости от типа системы, це­лей и задач исследования, требуемой точности результатов и выделяемого вре­мени на решение задачи.

 

[1] Теоретически в общем случае система определяется как целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые под­множества

[2] Потоком событий (в данном случае заявок) называют последовательность собы­тий, наступающих одно за другим в какие-то заранее неизвестные, случайные моменты времени

[3] Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае - моменту из проме­жутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величи­на (в данном случае - состояние СМО).

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно, но неизвестное заранее, какое именно, числовое значение из данного числового множества ([5], с. 5).

[4] Случайный процесс, протекающий в СМО, называется марковским (или про­цессом без последействия, или процессом без памяти), если вероятность любого состояния СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не 'зависит от ее состояний в прошлом ([5], с. 6). Этот процесс назван "марковским" по имени математика А.А. Маркова, впер­вые исследовавшего эти процессы.

Марков Андрей Андреевич (14.06.1856—20.07.1922) - известный русский ма-тематик, ординарный академик Петербургской академии наук; заслуженный профессор Петербургского университета. Основные исследования А.А. Марко­ва относятся к теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу.

[5] Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия (для любых двух непересекающихся промежутков времени, число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающий за другой) и орди­нарностью (вероятность наступления за элементарный - малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятно­стью наступления за этот промежуток времени одного события), называется пуассоновским ([5), с. 69).

Пуассон Симеон Дени (21.06.1781 - 25.04.1840) - французский математик, механик и физик, профессор Политехнической школы в Париже (с 1806 г.), член института Франции и Бюро долгот (с 1812 г.), член Совета Французского университета (с 1816 г.), наблюдатель за преподаванием математики во всех коллежах Франции (с 1820 г.), почетный член Петербургской академии наук (с 1826 г.); получил выдающиеся результаты в области теории рядов, теории не­определенных интегралов, вариационного исчисления, теории вероятностей, математической физики, теоретической механики; предложил (названный его именем) один из важнейших законов распределения случайных величин в тео­рии вероятностей.

[6] Поток событий называется регулярным, если события в нем следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени

[7] Поток событий называется стационарный, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только ОТ длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.

[8] Формула (2.1.) представляет собой плотность распределения (или дифферен­циальную функцию распределения) непрерывной случайной величины Т.

[9] Интенсивностью (или средней платностью) потока называется среднее число событий в единицу времени