Определение 2. Вероятностью события

Каждое из событий обладает той или иной степенью возможности его наступления. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности с каждымсобытием необходимо связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называют вероятностью события.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

На основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными — те события, которые происходят реже; мало вероятными — те, которые почти никогда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события.

Определение 3. Достоверное событие.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти. Пример достоверного события — выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости.

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события — возможные, но не достоверные — будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Определение 4. Невозможное событие.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Пример невозможного события — появление 12 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю.

Таким образом, установлены единица измерения вероятностей — вероятность достоверного события — и диапазон изменения вероятностей любых событий — числа от 0 до 1.

Определение 5. Полная группа событий.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

2) попадание и промах при выстреле;

3) появление 1,2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости;

4) появление белого шара и появление черного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 черных шара;

5) ни одной опечатки, -одна, две, три и более трех опечаток при проверке страницы напечатанного текста.

Определение 6. Несовместные события.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместных событий:

1) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

2) попадание и промах при одном выстреле;

3) появление 1, 3, 4 очков при одном бросании игральной кости;

4) ровно один отказ, ровно два отказа, ровно три отказа технического устройства за десять часоз работы.

Определение 7. Равновозможные события.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Примеры равновозможных событий:

1) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

2) появление 1, 3, 4, 5 очков при бросании игральной кости;

3) появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды;

4) появление шара с № 1, 2, 3 при вынимании одного шара из урны, содержащей 10 перенумерованных шаров.

Определение 8. Случаи.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместных и равновозможных событий; например: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости. События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»).

Случаи представляют собой исчерпывающую (полную) систему равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. Такой опыт «сводится к схеме случаев» (к «схеме урн»).

Определение 9. Случай б лагоприятный событию

Случай называется благоприятным (или «благоприятствующим») некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление- данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событию А —появ лению четного числа очков—благоприятны три случая: 2, 4, 6 и не благоприятны остальные три.

Определение 10. «Классическая формула» для вычисления вероятностейсобытия.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

Р(А) =m/n, (*)

где Р(А) — вероятность события А;

п — общее число случаев;

т — число случаев, благоприятных событию А.

Так как число благоприятных случаев всегда заключено между 0 и п (0—для невозможного и п — для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле (*), всегда есть рациональная правильная дробь:

0£Р(A)£1.

Формула (*), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятности события.

Приложение 2. Пример решения задачи

Задача.

Покупателю необходимо приобрести надежный телевизор.

Продавец предлагает покупателю две марки телевизоров с экранами на жидких кристаллах и три марки телевизоров с плазменными панелями.

Получено истинное сообщение: «Один из телевизоров с экраном на жидких кристаллах и один телевизор с плазменной панелью высокой надежности».

Является ли ценность данного сообщения для покупателя положительной величиной?

1. Найдем p0 - вероятность события, что будет приобретен телевизор высокой надежности, если сообщение покупателем не получено. Всего возможно 8 случаев приобретения телевизора (n=8). Благоприятных случаев событию «Покупка надежного телевизора» – 2 (m=2). Таким образом, вероятность покупки (достижения цели) равна:

p₀=m/n=2/7.

2. Найдем p1 - вероятность события, что будет приобретен телевизор высокой надежности, если сообщение покупателем получено. В этом случае покупатель будет приобретать телевизор с экраном на жидких кристаллах, так возможность приобрести надежный телевизор выше. Всего возможно 2 случая приобретения телевизора (n=2). Благоприятных случаев событию «Покупка надежного телевизора» – 1 (m=1). Таким образом, вероятность покупки (достижения цели) равна: