Применение софизмов на уроках математики

Проанализировав соответствующую методическую литературу и задачники, содержащие софизмы, можно сделать вывод, что, во-первых, из всего множества софизмов, далеко не каждый можно использовать на уроке, а во-вторых, в литературе нет строгого разделения ошибочных рассуждений на те, которые можно использовать во внеклассной работе и те, которые подойдут для урока. Поэтому предлагаю примерное распределение софизмов по классам в соответствии с изучаемым материалом. Считаю, что такая система могла бы способствовать предотвращению бессистемности в использовании софизмов.

 

Класс.

Софизм: Все числа равны между собой.

Возьмём два произвольных неравных между собой числа а и b, и запишем для них очевидное тождество

Слева и справа стоят полные квадраты, т.е. можем записать  (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим , (2) или , или окончательно .

Раскрытие софизма:

Исходное тождество и равенство (1) вполне справедливы. Но при переходе от равенства (1) к равенству (2) была совершена ошибка: извлечение квадратного корня из обеих частей равенства (1) сделано неправильно. В действительности же вместо равенства (2) из равенства (1) должно следовать равенство . (*)

Здесь необходимо рассмотреть два случая.

1 случай. , тогда, очевидно, . Тогда из равенства (*) следует , или , т.е. просто тождество числа а самому себе.

2 случай. , тогда , откуда следует, что , или .

 

Софизм:

Их было десять чудаков,

Тех спутников усталых,

Что в дверь решили постучать

Таверны «Славный малый».

 

- Пусти, хозяин, ночевать,

Не будешь ты в убытке,

Нам только ночку переспать,

Промокли мы до нитки.

 

Хозяин тем гостям был рад,

Да вот беда некстати:

Лишь девять комнат у него

И девять лишь кроватей.

 

- Восьми гостям я предложу

Постели честь по чести,

А двум придётся ночь проспать

В одной кровати вместе.

 

Лишь он сказал, и сразу крик,

От гнева красны лица:

Никто из всех десятерых

Не хочет потесниться.

 

Как охладить страстей тех пыл,

Умерить те волненья?

Но старый плут хозяин был

И разрешил сомненья.

 

Двух первых путников пока,

Чтоб не судили строго,

Просил пройти он в номер «А»

И подождать немного.

 

Спал третий в «Б», четвёртый в «В»,

В «Г» спал всю ночь наш пятый,

В «Д», «Е», «Ж», «З» нашли приют

С шестого по девятый.

 

Потом вернувшись снова в «А»,

Где ждали его двое,

Он ключ Ио «И» вручить был рад

Десятому герою.

 

Хоть много лет с тех пор прошло,

Неясно никому,

Как смог хозяин разместить

Гостей по одному.

 

Иль арифметика стара,

Иль чудо перед нами,

Понять, что, как и почему,

Вы постарайтесь сами.

 

Раскрытие софизма: Второй клиент остался без комнаты, т.к. о его существовании просто «забыли» при распределении номеров. Суть в том, что понятие числа неоднозначно: оно может быть и количественным и порядковым. Путём сознательного смешения понятий количественного и порядкового чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведённого рассуждения. Мы рассуждали так: «В итоге расселения в первой комнате оказалось 2 человека – число количественное, «третий» человек был помещён во второй комнате» - число порядковое. Подобная структура рассуждений и дала возможность отвлечь внимание от факта пропуска второго клиента.

 

Класс.

Софизм: Сумма углов треугольника меньше 180є.

Возьмём произвольный треугольник ABC и проведём из его вершины С две прямые CF и CG так, чтобы угол GCB был равен углу FCA – углу CAB.

Тогда сумма  равна сумме внутренних углов Треугольника АСВ.

Построим на сторонах СВ и АС треугольника АВС как на диаметрах две полуокружности с центрами в точках О и О .

Из вершин А и В треугольника АСВ восстановим к основанию АВ этого треугольника перпендикуляры и продолжим их до пересечения с соответствующими окружностями в некоторых точках K и L с вершиной С. Рассмотрим два получившихся угла AKC и BLC; вершины K и L этих углов лежат на полуокружностях, стороны их опираются на диаметры этих полуокружностей, поэтому заключаем, что эти углы прямые.

Теперь из вершины С треугольника АСВ проведём прямую СН, параллельную прямой LB. Прямая СН будет также параллельна прямой KA. Действительно, прямая КА перпендикулярна (по построению) основанию АВ треугольника АСВ, прямая LB перпендикулярна основанию АВ (так же по построению), а прямая СН параллельна и прямой KA. Итак, прямые KA и LB параллельны между собой. Отсюда следует, что и следовательно .

Между тем из рисунка видно, что сумма углов , меньше, чем сумма , следовательно,

 

,

,

 

а т.к. есть сумма внутренних углов треугольника АСВ, то следовательно, сумма углов треугольника меньше 180є.

Раскрытие софизма: В софизме неправильно построены точки K и L, что и привело к неверному выводу. Действительно, прямые CF и CG параллельны стороне АВ треугольника АВС, т.к. равны соответствующие внутренние накрест лежащие углы (  по построению). Поэтому перпендикуляры к АВ, восстановленные из А и В, должны быть перпендикулярами и к прямым CG и CF. Поскольку углы, образованные этими перпендикулярами и прямыми CF и СG, опираются на диаметры соответствующих окружностей, то вершины этих углов, будучи прямыми углами, должны лежать на соответствующих окружностях. Значит, прямая DC должна слиться с прямой CG. Соответственно точка К будет лежать на прямой CF и на окружности точно так же, как и точка L будет лежать на своей окружности и на прямой CG. Вследствие этого вывод софизма не будет иметь место.

Класс.

Софизм: В любом треугольнике катет больше гипотенузы.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС. Для этого запишем два очевидных равенства

 

,

,

 

из которых вытекает, что

 

.

 

Разделив последнее равенство на , получим равенство

 

, (1)

 

в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше знаменателя –(ВС+АС), т.к. положительная величина всегда больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело место равенство (1), необходимо, чтобы и в правой его части выполнялось неравенство , откуда , или , или, наконец, , т.е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

 

В

С

А

Раскрытие софизма: Ошибка состоит в том, что сравнение двух дробей необходимо проводить согласно определению равенства дробей, а не сравнивать отдельно числители и отдельно знаменатели этих дробей.

Обратимся к неравенству (1). В дроби, стоящей в его левой части, числитель и знаменатель равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, поэтому эта дробь равна – 1. Это же относится и к дроби в правой части равенства (1): она равна – 1. Поэтому равенство (1) приводит к равенству -1 = -1.

Софизм: Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы, конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают своё движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и, что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние 100 шагов, отделяющее его от места, откуда начала своё движение черепаха, то в этом месте Ахиллес её уже не застанет, т.к. она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногиё Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

Раскрытие софизма: Понятно, что Ахиллес догонит черепаху. Смысл софизма Зенона состоит не только в том, что Зенон вскрывал противоречивость движения. Парадоксы и софизмы Зенона, из которых до нас дошло только 9, имеют значительно более глубокий смысл и направлены на вскрытие понятия бесконечности, на разрешение «проклятия бесконечности» и до сих пор привлекают внимание математиков и философов, которые продолжают давать им самые различные объяснения. Рассматриваемый софизм на сегодняшний день не далёк от своего окончательного разрешения.

 

Класс

Софизм: Косинус любого острого угла больше единицы.

Прологарифмируем по произвольному основанию а > 1 очевидное тождество cos = cos , где -произвольный острый угол; в результате получим столь же очевидное тождество log cos  = log cos . (1).

Очевидно, что увеличив левую часть этого тождества вдвое, получим неравенство 2 log cos > log cos  (2)

или, что тоже самое, log cos > log cos  (3)

Поскольку при основании логарифма, большем единицы, большему числу и соответствует и большее значение логарифма и наоборот, из неравенства (3) получаем, что cos > cos . Разделив обе части последнего неравенства на положительное число cos , что не меняет смысла неравенства, получим cos >1.

Раскрытие софизма: Для острого 0 <  < ,0 < cos  < 1 справедливо неравенство log cos < 0. Т.к – с > - d при 0 < c < d, то понятно, что из равенства (1) будет следовать не неравенство (2), а неравенство

log cos > 2log cos . Отсюда получаем cos  > cos , или 1 > cos , т.е. верное неравенство.

Софизм: График функции синус совпадает с осью Ох.

Функция sin x равна нулю при х = 0, а так же во всех точках х = 2 , где

n – целое число. Площадь фигуры, ограниченной частью синусоиды и отрезком [0; 2 ] оси Ох, определяется с помощью интеграла .

Итак, площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью Ох, равна нулю. Но площадь фигуры между некоторой кривой и осью Ох, может равняться нулю только в том случае, если эта кривая совпадает с осью Ох. Следовательно, график функции синус совпадает с осью Ох.

Раскрытие софизма:

Здесь допущена ошибка при интегрировании синуса. При вычислении с помощью интегрирования площади фигуры, заключенной между осью Ох и некоторой кривой, необходимо учитывать, что площадь при этом получается со знаком «плюс» или «минус». Это означает, что если кривая расположена над осью Ох, то площадь имеет знак «плюс», а если под осью Ох – знак «минус».

Синус на отрезке [0; ] положителен, а на отрезке [ ]. Отрицателен. Поэтому площадь фигуры, заключённой между синусоидой и осью Ох, на отрезке [0; ] равна , а на отрезке [ ] площадь равна .

Тогда площадь , на отрезке [0; 2 ] будет равна , а на отрезке [0; 2 n ] составит .

 

Софизмы могут самые разные и приведённая система подтверждает, что софизмы могут быть использованы и в соответствии с тематикой обучения, т.е. можно подобрать софизм, который будет актуален при проведении урока по различным темам. Конечно, разумно использовать софизм после изучения конкретной темы, например в 7 классе после темы «Формулы сокращённого умножения», или в 10 классе при изучении темы «Логарифмы», т.к. решение некоторых софизмов можно свести к тем же логарифмам или решить его, используя формулы сокращённого умножения.

Заключение

Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что критичность является важным качеством мышления, развитие которого требует значительных усилий со стороны учителя математики. Кроме того, полезно развивать критичность мышления, в процессе обучения, отступая от стандартных методов проведения урока.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только стандартных задач невозможно. Если учитель математики «заполнит отведённое ему время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьёт их интерес, затормозит их умственное развитие». С помощью нестандартных задач интенсивнее формируется интерес и достигается цель углубления. Поиск решения нестандартных задач является прекрасным средством развития критического мышления, строгости суждений и математического вкуса. Одним из таких средств является использование софизмов на уроках математики.

Конечно, не следует, и преувеличивать роль софизмов в развитии критичности мышления. Они ни в коем случае не должны доминировать над обычными, традиционными упражнениями. Но как раз своей не стандартностью они «помогут» решить проблему заинтересованности в обучении, а если правильно организовать процесс внедрения софизмов в ход урока, то во многом облегчится задача развития критичности мышления, потому, что софизмы относятся к типам заданий, решение которых основано на рассмотрении различных ситуаций. При регулярном использовании софизмов на уроках у учеников вырабатывается своеобразная «подозрительность», что естественно указывает на хорошо развитую критичность мышления. Причём, софизмы универсальны в обучении тем, что подходят для учащихся всех возрастов.

Софизмы занимают, пусть скромное, но достойное место в процессе обучения и в развитии одного из качеств мышления – критичности.

Литература

1. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. / М.: Просвещение, 1967, -191с.

2. Гайдук Ю.М. «Математические софизмы» // журнал «Математика в школе», № 6, 1952.

3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. / М.: Мир, 1971, 511с.

4. Грудёнов Я.И. «Совершенствование методики работы учителя математики»./ М.: Просвещение, 1990.

5. Дьюи Джон. Психология и педагогика мышления. / М.Лабиринт, 1999, - 192с.

6. Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практическую конференцию) / «Арзамас, 2002, 334с.

7. Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. / М.: Просвещение, 1981,112с.ил.

8. Лук А.Н. «Мышление и творчество». / М., Политиздат, 1976,-144с.

9. Мадера А.Г. Мадера Д.А. Математические софизмы: Перавдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным рассуждениям: Кн. Для учащихся 7- 11кл / А.Г.Мадера, Д.А.Мадера. / М.: Просвещение, 2003.-112с.

10. Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 46, 1997г.

11. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в обучении. / М.: Просвещение, 1972.

12. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн– 4-е изд. / М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.

13. Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. – 4е изд. / М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2:Общие основы психологии.-608с.

14. Перловский. Физические и метафизические концепции мышления. // Звезда, № 8, 1999.

15. Податов А.П. Математические софизмы, парадоксы и логические задачи. / Улан-Удэ: Бурятское книжное издательство, 1962.

16. Решетников В.И Формирование приёмов мышления школьников. / М.: Наука, 1973.

17. Талызина Н.Ф. формирование познавательной деятельности учащихся. / М. Знание, 1983 г.

18. Халперн Д. Психология критического мышления. / СПб.: Издательство «ПИТЕР»,2000.

19. Хрестоматия по истории философии. Учебное пособие для вузов. В 2-х ч. Ч.1. / М.: Прометей, 1994.-536с.

20. Ярский А.С. Что делать с ошибками. // журнал «Математика в школе», № 2,1998.