Закон нормального розподілу (Закон Гаусса)

Експериментально встановлено, що у більшості випадків при стійкому процесі механічної обробки заготовок на налагоджених верстатах з точністю 8–10 квалітетів і грубіше та за відсутності змінюваних в часі систематичних похибок точність обробки підкоряється закону нормального розподілу, який зображується кривою Гаусса, рівняння якої має вигляд:

 

.

 

Графічно закон нормального розподілу (закон Гаусса) зображується у вигляді кривої горбоподібного типу (рис. 5), гілки якої входять у + ∞ та – ∞, асимптотично наближуючись до осі абсцис.

 

Рис. 5. Крива нормального розподілу (закон Гаусса)

 

Закон нормального розподілу характеризується двома параметрами: s і . Параметр s є мірою розсіювання випадкової величини Х. Зі збільшенням s крива розподілу стає більш пологою, а її гілки розсовуються ширше, зі зменшенням s крива нормального розподілу робиться більш витягнутою, а її гілки зближуються (рис. 6).

s приблизно, за результатами вимірювань, розраховується за формулою:

 

.(2)

 

Рис. 6. Вплив середнього квадратичного відхилення на форму кривої нормального розподілу

 

Параметр  є мірою положення кривої нормального розподілу відносно осі ординат. Зі збільшенням  криві розподілу зсуваються вправо, зі зменшенням  – вліво (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Вплив  на положення кривої розподілу відносно початку координат

 

 визначається за формулою:

,

 

або при розподілі згрупованих даних за f-інтервалами:

 

.(3)

 

Оскільки гілки кривої нормального розподілу прямують до нескінченності, то поле розсіяння випадкової величини Х дорівнює нескінченності. З віддаленням значень х від  ймовірність отриманих результатів їх зменшується і доходить до надто малих значень. При малих ймовірностях подія здійснюється рідко і, отже, значеннями х можна знехтувати. Тому для практичного використання кривої нормального розподілу її абсцису виражають через s і обмежують поле розсіяння значень х межами х ± ts, тобто практичне поле розсіяння випадкової величини приймають рівним (рис. 5):

 

,(4)

де  – нормований параметр розподілу.(5)

 

Значення t вибирається в залежності від прийнятої ймовірності Р знаходження значень x в межах поля розсіяння Δ_p та ймовірності q = 1 – p виходу значень x за межі Δ_p Вибір значень t провадять за відповідними таблицями, які додаються до курсу математичної статистики.

Найчастіше приймають t = 3. Цьому значенню відповідає ймовірність Р = 0,9973 і q = 0,0027. Отже, при t = 3,99,73 % всіх можливих значень х буде лежати в межах поля розсіювання, рівного Δ_p = 6s, і тільки 0,27 % значень вийде за його межі. Цей відсоток настільки малий, що значеннями s, які виходять за межі Δ_p = 6s, можна знехтувати і практично вважати, що всі значення лежать в межах поля розсіювання.

Часто на практиці спочатку будують емпіричну криву розподілу, де емпіричне середнє квадратичне відхилення визначається за формулою (2), а потім визначається s за формулою:

 

s = γS,(6)

 

де γ – коефіцієнт, який враховує похибку визначення s при малих розмірах партії вимірюваних заготовок.

Таблиця 1 Поправковий коефіцієнт γ [3]

N	25	30	40	50	60	70	75	80	90	100	200
γ	1,4	1,39	1,33	1,3	1,26	1,24	1,25	1,22	1,21	1,2	1,15

 

Нормальний закон розподілу спостерігається в тих випадках, коли досліджувана випадкова величина є результатом дії великої кількості різних факторів, причому всі фактори за інтенсивністю свого впливу діють однаково. Цьому закону підкоряється велика кількість безперервних величин: розміри деталей, оброблених на настроєних верстатах; маса заготовок і деталей машин; твердість та інші механічні властивості матеріалу; висота мікронерівностей на оброблених поверхнях; похибки вимірювань та деякі інші величини. У всіх перелічених випадках доводиться спостерігати невеликі відхилення від нормального закону.