Признак возрастания и убывания функции

Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и , то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x3-6x2-9x+1

D(f): (+∞;-∞)

f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)

f I > 0

f I < 0 при х прин.(1;3)

Функция убывает на (1;3)

Признаки существования экстремума

* Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней .

* Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x0 – локальный максимум, а если , то в точке x0 – локальный минимум.

б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).

Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба

*Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

*Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

*Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

*Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.