Расчет оптимальных настроечных параметров цифровых регуляторов

 

Модель и расчетная схема цифровой АСР. При исследовании систем с цифровыми регуляторами обычно вместо известной структурной схемы ЦАСР с АЦП, ЦАП и ЦВУ рассматривают модель ЦАСР и далее ее расчетную схему.

 

Рис. 5.5. Модель цифровой системы

 

В АЦП осуществляется преобразование непрерывного сигнала U(t), y(t) в дискретную последовательность чисел U(1t) и y(1t), где 1t – дискретное время, t – такт квантования, 1- номер такта квантования. При исследовании систем с цифровым регулятором перейдем от функциональной схемы к модели цифровой системы.

В модели АЦП заменяют дельта импульсными модуляторами, а ЦАП входит как демодулятор. Демодулятор и объект образуют приведенную непрерывную часть системы с передаточной функцией:

 

Wпнч=Wgm*Wm

 

Дельта-импульсные модуляторы осуществляют преобразование непрерывных сигналов U(t)и y(t)в синхронные импульсные последовательности U*(t)и у*(t)в соответствии с формулами

 

 

 

где U*(t) и y*(t) — модели сигналов;

Т- период квантования сигнала по времени.

Демодулятор обычно представляет собой фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией:

 

 (7)

 

Структурная схема может быть преобразована в расчетной схеме системы.

 

Рис.5.6. Расчётная схема цифровой АСР

 

Расчётная схема состоит из дискретного регулятора W* и дискретного объекта с передаточной функцией W*пнч(р), а все сигналы представляются синхронной последовательностью моделированных d импульсов. Передаточная функция разомкнутой цифровой АСР запишется в виде:

 

 (8)

Передаточная функция дискретной системы связана с передаточной функцией её непрерывной части следующим соотношением:

 

 (9)

 

где: wкв=2p/Т — частота квантования в дискретной АСР,

Т — время такта квантования.

С учётом этого передаточная функция разомкнутой дискретной системы запишется в виде:

 

 (10)

 

Алгоритмы вычисленных устройств цифровых регуляторов. Вычислительные устройства цифровых регуляторов реализуют следующие унифицированные законы регулирования:

пропорциональный (П‑закон): m(lT)=k1e(lT);(11)

интегральный (И‑закон):  (12)

пропорционально‑интегральный (ПИ‑закон):

 

 (13)

 

пропорционально‑интегральный с воздействием по производной (ПИД‑закон):

 

 (14)

Параметры настройки регуляторов: коэффициенты k1, k2, k3 и время такта (период) квантования T. Ниже приводятся соотношения, связывающие соответствующие параметры настройки дискретных и непрерывных регуляторов:

 

k₁ =k_р,  (15)

k₂ /Т=k_р/Т_и, (16)

k₃Т=k_рТ_g; (17)

 

где: Kр — коэффициент передачи непрерывного ПИД‑регулятора,

Т_р — время изодрома,

Т_g — время предварения.

Передаточные функции вычислительных устройств цифровых регуляторов, определенные в смысле дискретного преобразования Лапласа, имеют вид:

 

Таблица 4 - Алгоритм цифровых регуляторов

Регулятор	Передаточная функция W*p(р)
П	К1
И	К2/[1-exp(-pT)]
ПИ	К1+К2/[1-exp(-pT)]
ПИД	К1+К2/[1-exp(-pT)]+К3[1-exp(-pT)]

 

Запас устойчивости систем с цифровыми регуляторами. Оценка запаса устойчивости может проводиться с помощью корневого и частотного показателей колебательности. Примем к рассмотрению способ оценки запаса устойчивости по распределению корней характеристического уравнения замкнутой системы, который позволяет легко и просто выполнить вычисления на ЭВМ, границы заданного запаса устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора по соотношениям, получающиеся из условия:

 (18)

 

где m — заданный корневой показатель затухания свободных колебаний.

При этом частота меняется в пределах от w =0 до w =p/Т, а из бесконечно большого числа решений уравнения выбирается только одно, соответствующее минимальному w. Подставив в выражения с учетом, получим: (19)

 

 

Введем обозначение:

 

 (20)

 

Тогда соотношение можно привести к виду:

 

 (21)

 

Комплексные функции переменной w в соотношении распишем в виде суммы действительной и мнимой частей

 

e-jwT=coswT-jsinwT, (22)

W* m(m,jw)=½W* m(m,jw)½*[cosF* (m,w)+jsinF*(m,w)]; (23)

 

где: ½W*m(m,jw)½, F* (m,w) — модуль и фаза расширенной комплексной частотной характеристики эквивалентного дискретного объекта.

Записав полученное равенство в виде системы двух уравнений (одно — для действительной, другое — для мнимой части равенства) и решив эту систему относительно параметров К₁ и К₂, будем иметь:

 (24)

 

Пространство параметров настройки цифрового ПИД‑регулятора четырехмерно. Задаваясь конкретными значениями параметров Т и К₃, можно в плоскости параметров К₁, К₂ построить параметрическую кривую. Область, ограниченная этой кривой и прямыми К₁=0 и К₂=0, является областью заданного запаса устойчивости для выбранных значений Т и К₃.

Последовательность расчета оптимальных настроек цифровых регуляторов. Расчет оптимальных настроек цифровых регуляторов на ЭВМ осуществляется методом расширенных частотных характеристик и состоит из двух этапов:

1. Расчет и построение в плоскости параметров настроек регулятора линии равной степени колебательности (m=const)

2. Определение в области заданного запаса устойчивости точки, обеспечивающей наилучшее качество регулирования. Линия равной степени колебательности m=constстроится в плоскости параметров К₁ и К₂,определяемых по формулам.

Процесс расчета оптимальных настроечных параметров, поэтапно:

1) Задается значение периода квантования с учетом рекомендаций T=0,01Т₉₅÷0,1Т₀;

где Т₉₅- время достижения регулируемой координатой величины равной 95% ее установившегося значения при действии на объект ступенчатого возмущения;

T₀ - доминирующая постоянная времени объекта.

2) Задается значение параметра К₃ =0 и строится линия m = m₃в плоскости параметров К₁ и К₂.При расчете следует выбирать значение степени колебательности mиз диапазона 0,221<m<0,366, что обеспечит степень затухания наиболее колебательной составляющей переходного процесса в пределах 0,75 < ψ < 0,91.

3) В качестве оптимальных настроек ПИ и ПИД-регулятора принимаются такие, при которых система обладает запасом устойчивости не ниже заданного (m = m₃) и коэффициент при интегральной составляющей в зоне регулирования имеет максимальную величину (К₂ = max). Для нахождения оптимальных настроек К₁(0), К₂(0), при заданных Т и К₃ достаточно определить точку максимума линии m=m₃.

4) По определённым оптимальным настройкам К₁(0), К₂(0), при условии К₃=0, задаёмся значением параметра К₃ из диапазона:  строим в плоскости параметров К₁, К₂ новую линию m=m₃ и определяем новые значения оптимальных настроечных параметров. Такой порядок нахождения значения коэффициента К₃ связан с тем, что качество регулирования улучшается при увеличении К₃лишь до некоторого его критического значения. Дальнейшее увеличение К₃приводит к ухудшению качества регулирования.

5) Задаём ряд других значений периода квантования Tkwиз диапазона T=0,01Т₉₅÷0,1Т₀ и определяем для них оптимальные настройки.

Расчёт настроечных параметров ПИД‑регулятора производён при помощи ЭВМ.

 

Рис.5.7. Область заданного запаса устойчивости при К₃=соnst=0 и различных значениях времени квантования

 

Рис.5.8. Область заданного запаса устойчивости при T_KW =const=0,4 и различных значениях настроечного параметра К₃