Изменение дисперсии ошибок с течением времени

Невключение в модель переменных, зависящих от времени и существенно влияющих на объясняемую переменную:

Невыполнение условия независимости в совокупности случайных ошибок  в форме их автокоррелированности. Более подробно о такой форме статистической зависимости между случайными ошибками мы поговорим позднее, а сейчас продемонстрируем, как выглядят графики остатков в случае положительной автокоррелированности (левый график) и в случае отрицательной автокоррелированности (правый график):

В первом случае проявляется тенденция сохранения знака остатка при переходе к следующему наблюдению (за положительным остатком скорее следует также положительный остаток, а за отрицательным — отрицательный). Во втором случае проявляется тенденция смены знака остатка при переходе к следующему наблюдению (за положительным остатком скорее следует отрицательный остаток, а за отрицательным — положительный).

Отдельную группу составляют графические методы проверки предположения о нормальности распределения случайных составляющих .

Диаграмма «квантиль-квантиль» (Q-Q plot). Для построения этой диаграммы значения стандартизованных остатков  упорядочивают в порядке возрастания; упорядоченные значения образуют ряд

Если теперь для каждого  нанести в прямоугольной системе координат на плоскости точку с абсциссой  и ординатой

(  — квантиль уровня уровня  стандартного нормального распределения), то полученные  точек , , в случае нормальности распределения ошибок должны располагаться вдоль прямой, имеющей угловой коэффициент, близкий к единице. Подобное расположение имеют точки на диаграмме, построенной указанным способом по первому из четырех множеств искусственных данных:

Замечание. Если в последней процедуре не проводить стандартизацию остатков, а использовать непосредственно остатки , то полученные точки , , также будут располагаться (при нормальном распределении ошибок) вдоль некоторой прямой, но уже имеющей угловой коэффициент, не обязательно близкий к единице.

Указанное свойство диаграммы «квантиль-квантиль» основано на том, что при больших значениях  имеет место приближенное равенство

Последнему соответствует приближенное равенство

— соотношение, используемое для проверки нормальности ошибок в пакете EXCEL.

Диграмма плотности (DP-plot, DPP) отличается от диаграммы «квантиль-квантиль» тем, что по оси ординат вместо значений квантилей  откладываются значения функции плотности стандартного нормального распределения . Такая диаграмма дает возможность при достаточном количестве наблюдений не только проверить согласие с предположением о нормальном распределении ошибок, но и выявить характер альтернативного распределения в случае отклонения распределения ошибок от нормального. В качестве примера приведем диаграмму плотности, построенную по остаткам, полученным в результате подбора модели линейной зависимости совокупных расходов на личное потребление от совокупного располагаемого личного дохода (данные по США в млрд. долларов 1982 г., за период с 1959 по 1985 г.):

На этой диаграмме обнаруживается определенная асимметрия, что представляется не вполне согласующимся с предположением о нормальности ошибок. Однако сразу делать на этом основании вывод о нарушении такого предположения не следует. Дело в том, что при небольшом количестве наблюдений структура подобной диаграммы весьма неустойчива. Поэтому даже при заведомо нормальном распределении ошибок мы редко увидим вполне симметричную картину расположения точек на диаграмме при малом количестве наблюдений.

Ядерные (kernel) оценки плотности — еще один метод получения суждений о форме функции плотности, позволяющий, в отличие от двух предыдущих, получать график в виде непрерывной кривой. Существует много разных вариантов таких оценок, в детали которых мы вдаваться не будем, а отметим только, что в пакете EVIEWS предлагается на выбор 8 вариантов, в рамках которых имеется еще и возможность варьирования параметров. Вариант, применяемый по умолчанию, дает для только что рассмотренных данных следующую оценку плотности распределения ошибок:

Как видим, и такой подход дает график, не очень похожий на график функции плотности стандартного нормального распределения, но это опять может быть вызвано малым количеством наблюдений (27).