Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань Монте Карло

Передмова

 

За результатами психолого-педагогічного експерименту при дослідженні впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті, будується математична модель у вигляді поліному третього порядку.

Вихідними даними для проведення досліджень в даній роботі беруться результати психолого-педагогічного експерименту – бали тесту самооцінки тривожності по шкалі Спірбергера (Х_і) і характеристики пам’яті – кількість правильних відповідей на запитання вікторини (У_і).

За цими даними була побудована математична модель у вигляді поліному третього порядку способом найменших квадратів. Дана модель приймалась за істинну модель.

Генерувались випадкові числа, знаходився коефіцієнт пропорційності К і дані випадкові числа приводилися до середньої квадратичної похибки 0,1 і 0,05, що відповідає ціні найменшої поділки шкали Спірбергера і половині поділки даної шкали.

Будується спотворена модель, яка зрівноважується по способу найменших квадратів.

Дається оцінка точності елементів, зрівноважених процедурою способу найменших квадратів. Робляться узагальнюючі висновки.

Представлення істинної моделі

 

За результатами строгого зрівноваження [6,c.33] отримана емпірична формула залежності характеристик пам’яті Х від ситуативної тривожності У9(істинна модель)

 

у = -4,717425 Х³ + 33,731505 Х² – 85,78331 Х + 88,244437. (1.1)

Таблиця 1. Вихідні дані істинної моделі у табличному вигляді [6,c.28]

Х	1,6	2	2,1	2,3	2,5	2,8	2,9	3	3,1	3,3
у	18,021	13,864	13,167	11,986	10,898	8,949	8,101	7,108	5,939	2,965

 

За даними табл.. 1 побудуємо точкову діаграму і графік

 

Рис.1. Точкова діаграма і графік

 

Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів і зробивши оцінку точності її елементів, в подальшому необхідно провести дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло. Для цього необхідно генерувати істинні похибки за допомогою генератора випадкових чисел.

Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань Монте Карло

 

По шкалі Спірбергера [1] незалежні змінні представляються з точністю 0,1. прийнято, що точність спостережень дорівнює половині шкали.

Тому логічно генерувати випадкові похибки з точністю, яка б дорівнювала 0,05, тобто половині шкали з якою ми працюємо. Але поставимо перед собою задачу ще дослідити математичні моделі з граничною точністю, яку приймемо вдвічі більшу за 0,05, тобто рівну 0,1. При цьому непарні моделі генерують середню квадратичну похибку 0,1, а парні – 0,05.

Сучасні калькулятори мають “вшиті” генератори для генерування випадкових чисел від 0 до 1. але вони генерують числа тільки зі знаком “плюс”.

Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо в подальшому як істинні похибки для побудови спотвореної моделі.

1. Отримавши ряд випадкових (а точніше псевдовипадкових) чисел ξ_і , натиском клавіш К, Cч, розраховують середнє арифметичне генерованих псевдовипадкових чисел ξ_ір.

 

 (2.1)

 

де п – сума випадкових чисел.

2. Розраховуються попередні значення істинних похибок Δ΄_і за формулою

 

, (2.2)

3. Знаходять середню квадратичну похибку попередніх істинних похибок за формулою Гаусса

 

, (2.3)

 

4. Вичисляють коефіцієнт пропорційності К для визначення істинних похибок необхідної точності

 

 , (2.4)

 

де С – необхідна нормована константа.

Так, наприклад, при т _Δ΄ = 0,28 і необхідності побудови математичної моделі з точністю с=0,1, будемо мати

 

,

 

а при С=0,05, отримаємо К_0,05 = 0,05/0,28 =0,178

5. Істинні похибки розраховуються за формулою

 

, (2.5)

 

6. Заключним контролем служить розрахунок середньої квадратичної похибки т _∆ генерованих істинних похибок ∆

 

 , (2.6)

 

і порівняння

 (2.7)

 

Таблиця 2. Генерування псевдовипадкових чисел і розрахунок істинних похибок

№ п/п	ξ і	- ξср		∆΄ і2		∆ і2
1	0,008	0,457	-0,449	0,20174	-0,207	0,04283629
2	0,39	0,457	-0,067	0,004457	-0,031	0,00094637
3	0,37	0,457	-0,087	0,007527	-0,04	0,00159833
4	0,78	0,457	0,3232	0,104484	0,149	0,02218548
5	0,47	0,457	0,0132	0,000175	0,0061	0,00003722
6	0,24	0,457	-0,217	0,046985	-0,100	0,00997656
7	0,46	0,457	0,0032	1,05E-05	0,00149	0,00000223
8	0,61	0,457	0,1532	0,023482	0,071	0,00498610
9	0,5	0,457	0,0432	0,00187	0,01992	0,00039699
10	0,74	0,457	0,2832	0,080225	0,13052	0,01703443
П = 10	4,568	Суми	8E-16	0,470955	3,6E-16	0,10000000

 

Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок

 

mΔ’ = (0,470955/10)0.5 =0,2170151.

 

Коефіцієнт пропорційності

 

 .

 

Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністю с=0,1

m_Δ’ =(0.10000000/10)^0.5 = 0.1000000.

Таблиця 3. Побудова спотвореної моделі

№ п/п	Істинна Хіст.	Модель Уіст.	∆іст.	Хспотв.
1	1,6	18,021	-0,207	1,393
2	2	13,864	-0,031	1,969
3	2,1	13,167	-0,04	2,060
4	2,3	11,986	0,149	2,449
5	2,5	10,898	0,0061	2,506
6	2,8	8,949	-0,100	2,700
7	2,9	8,101	0,00149	2,901
8	3	7,108	0,071	3,071
9	3,1	5,939	0,01992	3,120
10	3,3	2,965	0,13052	3,431
п = 10	25,6	100,998	3,6E-16	25,600

 

По даним спотвореної моделі виконують строге зрівноваження методом найменших квадратів і отримують ймовірніші моделі, яким роблять оцінку точності зрівноважених елементів і дають порівняльний аналіз на основі якого заключають на предмет поширення даної моделі для рішення проблеми в цілому.