Пусть поверхность задана явным уравнением , причём изменяются в квадрируемой области на плоскости , и в этой области имеет непрерывные частные производные и . Разложим область с помощью сетки кривых на элементы . Рассмотрим .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси , то она вырежет на поверхности элемент . Элемент соответствует элементу . Точка соответствует точке , где . Проведём в точке касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру , площадь которой служит приближением к площади элемента . Сумму можно считать приближением к площади поверхности . Площадь при стремящихся к нулю диаметров всех элементов или . Отсюда , где - угол нормали к поверхности с осью . Если удовлетворяет точке , то для площадей плоских фигур и имеем , откуда . Получаем интегральную сумму . Исходя из того, что , площадь .
Площадь поверхности в общем случае
Рассмотрим простую гладкую поверхность , заданную параметрически. Для каждой точки поверхности явное уравнение заменяется явным же уравнением или . Отсюда следует, что вся поверхность разлагается на конечное число кусков . Вычислим площадь . . .
Замечание: Перейдём от параметров с областью изменения к параметрам с областью изменения по формулам , . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями , , . Обозначим , , - так называемые гауссовы коэффициенты. Так как , то .
Выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.
Пример: Найти площадь частей сферической поверхности , вырезанных из неё цилиндром .
Решение. , , , тогда , причём областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью .
В полярных координатах получим . Проинтегрировав, получим .
В сферических координатах, так как , , , то .
Тройной интеграл
Масса тела. Объём
Пусть дано некоторое тело , заполненное массами, и в каждой точке известна плотность распределения этих масс. Требуется определить всю массу тела.
Разложим тело на ряд частей: . Точка . Пусть в пределах части плотность постоянна и равна в выбранной точке. Тогда масса , масса всего тела . Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то или . Последнее выражение называется тройным интегралом.
Пусть дана функция в данном теле .
Если функция , то , где есть объём данного тела
. Вычисление тройного интеграла можно выполнить с помощью трёх последовательных простых интегрирований.
Пример:
1). Вычислить интеграл , распространённый на тетраэдр , ограничиваемый плоскостями , , и (чертёж). Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных
, отсюда
.
Итак, .