Количество элементов в множестве

Мощность множества – это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них счётное множество является самым маленьким.

В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, т. е. в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.

Свойства:

1. Любое подмножество счётного множества конечно или счётно;

2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно;

3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно;

4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно;

5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Несчётное множество – такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным. Множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел счётны, однако множество вещественных чисел континуально и, следовательно, несчётно. Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Свойства

· Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. Т.е. для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

· Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью его собственного подмножества, например

Z (множество целых чисел) = {-3,-2,-1,0,1,2,3…};

N (множество натуральных чисел) = {1,2,3,4,5,6,7...};

0,1,-1,2,-2,3,-3… целых чисел столько же, сколько и натуральных

1,2, 3,4, 5, 6, 7…

· Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A |.

· С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом и обозначается мощность такого множества A через | A | (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречается обозначение .

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются .

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c (continuum). Континуум-гипотеза утверждает, что .

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. Т.е. для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B | или A и B равномощны;

2. | A | > | B | или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;

3. | A | < | B | или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B |, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

Два множества называются эквивалентными, если их элементы можно разбить на пары, так, чтобы вне этих пар не останется ни одного элемента из этих множеств.

Множество правильных положительных дробей содержит столько же элементов, сколько и натуральных чисел.