Использование формул численного дифференцирования

Довольно часто вычисление производных , являющихся элементами матрицы , затруднено или вообще невозможно. В такой ситуации для приближения вычисления производных можно использовать формулы численного дифференцирования.

Например, можно использовать следующую конечно-разностную аппроксимацию производной:

.

Параметры - это конечно-разностные шаги.

Если в расчётных формулах метода Ньютона (2.4), (2.5) заменить матрицу  аппроксимирующей её матрицей  с элементами , то получим следующий итерационный метод:

,                                      (3.3)

.                                      (3.4)

В простейшем варианте этого метода шаги  не зависят от . Отметим, что выбор величины шагов представляет собой не очень простую задачу. С одной стороны, они должны быть достаточно малыми, чтобы матрица  хорошо приближала матрицу , с другой стороны, они не могут быть очень малы, та как в этом случае влияние погрешностей вычисления функций  на погрешность формулы (3.3) численного дифференцирования становится катастрофическим (выполняется вычитание близких приближённых чисел).

Следующие три метода можно рассматривать как варианты метода (3.3), (3.4), в которых реализованы специальные подходы к вычислению вектора . Для того чтобы приведённые ниже рассуждения были формально корректными, в формуле (3.3) положим , если оказалось, что .

МЕТОД ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ.

Пусть - фиксированный вектор. Положим . Тогда формулы (3.3), (3.4) определяют метод ложного положении, обладающий линейной скоростью сходимости в случае, если вектор  и начальное приближённое  выбраны достаточно близко к решению.

МЕТОД СЕКУЩИХ.

 

Можно связать задание последовательности  с какой-либо сходящейся к нулю векторной последовательностью, например, с последовательность невязок  или поправок . Так, полагая  , где j=1,…n, a k=1,2, …, приходим к простейшему методу секущих — обобщению скалярного метода секущих:

,                               (3.5)

где

,

k =1,2,3,….

Этот метод является двухшаговым и требует задания двух начальных точек  и . При п = 1 сходимость метода (3.5) имеет порядок . Можно рассчитывать на такую же скорость и в многомерном случае.

К методу секущих так же, как и к методу Ньютона, можно применить пошаговую аппроксимацию обратных матриц на основе метода Шульца. Расчетные формулы этой модификации легко выписать, заменив в совокупности формул ААМН (аппроксимаиионный аналог метода Ньютона)  матрицу  на матрицу

 из (3.5).

МЕТОД СТЕФФЕНСЕНА.

 

Вычисления по методу Стеффенсена производят по формулам (3.3), (3.4), где .

Замечательно то, что хотя этот метод не требует вычисления производных и в отличие от метода секущих является одношаговым, он, как и метод Ньютона, обладает свойством квадратичной сходимости. Правда, как и в методе Ньютона, его применение затруднено необходимостью выбора хорошего начального приближения.

По-видимому, для решения нелинейных систем вида  метод Стеффенсена чаще кажется лучшим выбором, чем метод секущих или метод ложного положения.

Как и в одномерном случае методы секущих и Стеффенсена теряют устойчивость вблизи решения (фактически это происходит при попадании приближения  в область неопределённости решения ). Поэтому при использовании этих методов важно вовремя прекратить выполнение итераций.

ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

Начальное приближение: 

 

Вектор-функция:     

 

Матрица Якоби вектор-функции:  

Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью :

k
0	0 -1	-0.841 0	-1.06 0.54 0     -2	-0.944 -0.255 0     -0.5	-0.794 -1	0.794>
1	-0.794 -1	0.295 0.63	-1.821 -0.221 -1.588 -2	-0.608 0.067 0.482 -0.553	-0.657 -0.794	0.247>
2	-0.657 -0.794	0.058 0.062	-1.48 0.12 -1.314 -1.588	-0.633 -0.048 0.524 -0.59	-0.617 -0.788	0.040>
3	-0.617 -0.788	-0.0000597 0.011	-1.441 0.159 -1.234 -1.588	-0.639 -0.064 0.497 -0.58	-0.616 -0.788	0.001=
4	-0.616 -0.788	0.000522 0.0004	-1.434 0.166 -1.232 -1.576	-0.639 -0.067 0.5 -0.582	-0.616 -0.788	0<

 

 

Ответ:

 

 

ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ MATHCAD

 

Вводим вектор функцию:

 

Функция iter(x,y) вычисляет следующее приближение к корню по формуле Ньютона , где

,

,

,

:

 

Функция norma(x,y,x1,y1) вычисляет норму между текущим и следующим приближением:

 

Функция Newton(x,y,eps) находит решение системы уравнений с точностью до eps:

 

Найдем решение заданной системы нелинейных уравнений при начальном приближении x=0, y=-1, с точностью до 0.001:

 

 

Полученное решение совпадает с рассчитанным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной курсовой работе был представлен метод Ньютона. Если оценивать качество метода по числу необходимых итераций, то следовало бы отметить, что этот метод стоит применять всегда, когда он сходится. Трудность использования метода Ньютона не только сохраняются при применении его к решению систем нелинейных уравнений, но и усугубляются из-за возникающей проблемы вычисления на каждой итерации матрицы  из  частных производных, что само по себе может оказаться весьма сложным делом.

Существует большое число модификаций метода Ньютона, позволяющих в тех или иных ситуациях снизить его трудоёмкость либо избежать необходимости вычисления производных. Такие модификации были также рассмотрены в данной курсовой работе: упрощённый метод Ньютона, использования формул численного дифференцирования, метод ложного положения, метод секущих, метод Стеффенсена.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г.

Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2000. – 440 с.

2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копчёнова Н. В.

Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. Школа, 1994. – 544 с.

3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З.

Численные методы анализа. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. Лит., 1963. – 400 с.