2020-01-15
111
Решим вручную несколько нелинейных уравнений методом Ньютона, а потом сверим результаты с теми, которые получатся при реализации программного продукта.
Пример 1
Решить уравнение методом Ньютона.
sin x2 + cos x2 - 10x. = 0.
Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x)=2x cos x2 - 2x sin x2 - 10.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x)=2cos x2 - 4 x2sin x2 - 2sin x2 - 4 x2cos x2 = cos x2 (2-4 x2 ) - sin x2 (2+4x2).
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16): f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 0, 565, тогда f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 0, 565.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 0. 565 | -4. 387 | -9. 982 | 0. 473 |
| 1 | 0. 092 | 0. 088 | -9. 818 | 0. 009 |
| 2 | 0. 101 | 0. 000 | -9. 800 | 0. 000 |
| 3 | 0. 101 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.
Пример 2
Решить уравнение методом Ньютона.
cos x – e-x2/2 + x - 1 = 0
Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = 1 – sin x + x*e-x2/2.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = e-x2/2 *(1-x2) – cos x.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16): f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 2, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 2.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 2 | 0. 449 | 0. 361 | 1. 241 |
| 1 | -0. 265 | 0. 881 | 0. 881 | 0. 301 |
| 2 | -0. 021 | 0. 732 | 0. 732 | 0. 029 |
| 3 | 0. 000 | 0. 716 | 0. 716 | 0. 000 |
| 4 | 1. 089 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.
Пример 3
Решить уравнение методом Ньютона.
x2 - e-x = 0.
Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = 2*x + e-x.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = 2 - e-x.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16): f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | 0, 632 | 2, 368 | 0, 267 |
| 1 | 0, 733 | 0, 057 | 1, 946 | 0, 029 |
| 2 | 0, 704 | 0, 001 | 1, 903 | 0, 001 |
| 3 | 0, 703 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.
Пример 4.
Решить уравнение методом Ньютона.
cos x –e-x/2+x-1=0.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = -sin x + e-x/2/2+1.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = -cos x - e-x/2 /4.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16): f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | -0. 066 | 0. 462 | 0. 143 |
| 1 | 1. 161 | -0. 007 | 0. 372 | 0. 018 |
| 2 | 1. 162 | 0. 0001. | 0. 363 | 0. 001 |
| 3 | 1. 162 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.
Пример 5
Решить уравнение методом Ньютона.
-2+ex- e-x =0.
Решение:
Вычислим первую производную функции.
F’(x) = ex+e-x.
Теперь вычислим вторую производную от функции.
F’’(x) = ex-e-x.
Построим приближённый график данной функции.
Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16): f(x(0)) * f’’(x(0)) > 0.
Пусть x(0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,
Условие выполняется, значит берём x(0) = 1.
Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.
| k | x(k) | f(x(k)) | f’(x(k)) | | x(k+1) - x(k) | |
| 0 | 1, 000 | 0, 350 | 3, 086 | 0, 114 |
| 1 | 0, 886 | 0, 013 | 2, 838 | 0, 005 |
| 2 | 0, 881 | 0, 001 | 2, 828 | 0, 000 |
| 3 | 0, 881 |
Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.
