Кристаллическая решётка. Элементарная ячейка

 

Структура кристалла – это конкретное расположение частиц в пространстве (физическая реальность). Чтобы представить структуру кристалла, нужно знать относительные размеры частиц, расстояния между ними, силы связи ме­жду частицами, их взаимное расположение, повторяющее расположение частиц в пространстве (пространственную решётку), и законы симметрических преоб­разований.

Симметрия – основная особенность, характерная для структуры кристаллов. Теорию строения структуры кристаллов развил английский учёный Бравэ, основываясь на многих экспериментальных результатах других исследовате­лей. Положив в основу своей теории анизотропию и симметрию кристаллов, он пришёл к понятию о пространственной решётке.

Пространственная решётка – это способ представления периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп частиц. Кристаллическая решётка – пространственная сетка, в узлах которой располагаются частицы (атомы, ионы, молекулы), образующие кристалл. Основу кристалла, её остов, каркас можно представить как бесконечную решётку, со­стоящую из множества одинаковых смежных параллелепипедов - ячеек Бравэ (рис. 1.11). Например, кристаллическая решётка поваренной соли NaCl пред­ставляет собой две кубические решётки с атомами хлора и атомами натрия в узлах, «вставленные» одна в другую (рис. 1.8). Какова бы ни была кристалли­ческая решётка, описывающая структуру кристалла, в её основе всегда лежат ячейки Бравэ.

          

            

Рис. 1.11.Пространственные решётки некоторых веществ

 

Рассмотрим простейший случай, когда одинаковые частицы расположены в кристалле параллельными бесконечными рядами. На 1 мм в кристалле находится порядка 10⁷ частиц (рис. 1.12). Трансляция (период идентичности) –симметричное преобразование, при котором точка (частица) повторяется в пространстве. Её величина – кратчайшее из возможных расстояний между одина­ковыми точками в ряду.

а

Рис. 1.12.Линейная цепочка атомов

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то ряд совместится сам с собой, его вид не на­рушится. Выбор основных трансляций в структуре кристалла очень важен, по­тому что ими определяются кристаллографические системы координат. В об­щем случае это косоугольные координаты с разными масштабными отрезками по осям (рис. 1.13).

Узлы ряда – одинаковые точки, связанные между собой величиной трансляции а в бесконечном ряду. При перенесении точек по трём направлениям на величину трансляций а, b, c можнополучить трёхмерную сетку.

Ячейки сетки – параллелограммы, вершины которых являются узлами.

Элементарная ячейка – параллелепипед с характерным для данной решётки расположением частиц, с помощью которого весь кристалл может быть построен путём его многократного повторения в трёх направлениях. Она стро­ится на трёх элементарных трансляциях а, b, с. Элементарную ячейку принято выбирать так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям: наилучшим об­разом отражала симметрию сетки, имела бы прямые углы и, если возможно, обладала бы наименьшим объёмом.

Примитивной называется элементарная ячейка, внутри которой нет узлов, частицы содержатся только в вершинах (рис. 1.13). Узлы решётки – вершины ячеек, в которых располагаются одинаковые атомы или группы атомов. Они эк­вивалентны друг другу.

Период (постоянная) кристаллической ячейки – расстояние между однородными атомами. Параметры элементарной ячейки: три ребра ячейки a, b, c; три угла между ними α, β, γ. Например, для представленной на рис. 1.13 примитивной ячейки, соотношения между параметрами следующие:

 

 

                            

 

Рис. 1.13.Примитивная элементарная ячейка

Элементарные ячейки, составляющие кристаллическую решётку кристалла, имеют одинаковые форму и объём. Кристалл можно построить с помощью разных примитивных ячеек. В некоторых случаях удобно характеризовать про­странственную сетку не примитивной, а сложной элементарной ячейкой, у ко­торой узлы есть не только в вершинах, но и внутри ячейки. Элементарная ячей­ка может содержать несколько примитивных ячеек.

Элементарные ячейки различаются по элементам симметрии и степени заполнения атомами (рис. 1.14).

 

                                       

 

 

Рис. 1.14.Разные примитивные ячейки в плоской сетке

 

К элементам симметрии относятся: трансляции, плоскости симметрии, зеркальные плоскости, оси симметрии разных порядков, инверсионные оси симметрии (рис. 1.15).

 

               

 

Рис. 1.15. Элементы симметрии в кубическом кристалле

 

Кристаллические ячейки делятся по элементам симмет­рии на 7 сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдрическая, гексагональная, тетрагональная, кубическая. Сингония в дословном переводе – сходноугольность. В сингонию объединяют кристаллы, у которых одинакова симметрия элементарных ячеек и одинаковая система координат. На рис. 1.16 показана тетрагональная ячейка.

                           

 

Рис. 1.16. Кристаллическая ячейка тетрагональной сингонии

 

В каждой сингонии элементарные ячейки делятся по степени заполнения их атомами. Так на одну ячейку простой кубической ячейки имеет приходится 1 атом: n = (1/8)8 = 1; объёмноцентрированной кубической ячейки (ОЦК) – 2 атома: n = (1/8)8 + 1 = 2; гранецентрированной кубической ячейки (ГЦК) – 4 атома: n =(1/8)8 + (1/2)6 = 4 Рис. 1.17); гексагональной с плотной упаковкой (ГПУ) – 2 атома.

 

Рис. 1.17. Кристаллические ячейки

 

Кристаллическую решетку общего типа называют решеткой с базисом (БЦК). Решетка с базисом представляется в виде двух вставленных одна в другую подрешеток Бравэ, каждая из которых определяется трансляцион­ными векторами. Базисный вектор устанавливает смещение реше­ток друг относительно друга. Количество базисных векторов может быть сколь угодно большим.

 

            

 

Рис. 1.18.Решётки Браве

 

Все известные в природе кристаллические тела кристаллизуются в 14 ре­шётках Браве (рис. 1.18). Далее они делятся на 32 класса симметрии и 230 пространственных групп.

Некоторым телам свойственна не одна, а две или более кристаллических структур, устойчивых при различных температурах и давлениях. Такое явление называется полиморфизмом. Полиморфные формы (модификации вещества) имеют, например, углерод и олово. Углерод может существовать в виде алмаза и графита. Алмаз очень прочный и твёрдый, графит – хрупкий. Элементарные ячейки алмаза и графита относятся к различным сингониям (рис. 1.19).

 

 

     

           

Рис. 1.19.Кристаллические решётки алмаза и графита

 

 

Олово может существовать в виде двух модификаций – серого и белого. Серое олово при температурах ниже 13,3 °С. имеет решётку типа алмаза. При температурах выше 13,3 °С серое олово превращается в белое олово – очень хрупкое вещество, которое легко разрушается в порошок. Белое (металличе­ское) олово имеет тетрагональную объёмноцентрированную решётку.

Полиморфные модификации обозначают греческими буквами: α, β, γ,.., начиная с самой низкой температуры. Переход от одной модификации к другой сопровождается выделением или поглощением скрытой теплоты превращения. Полиморфное превращение является фазовым переходом 1-го рода. Полимор­физм имеет важное практическое значение: это свойство используется при термической обработке сталей, придании сталям различных свойств, получении нержавеющих сталей.

 

ИНДЕКСЫ МИЛЛЕРА

Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод индицирования. Через узлы кристаллической решетки можно провести прямые линии и плоскости. Выберем один из узлов решётки за начало координат.

 

Любой другой узел решётки определяется радиус–вектором:

R = m a + n b + р с.

Индексы узла – три простых числа [[mnp]], взятые в двойные квадратные или фигурные скобки (рис. 1.20). В системе параллельных прямых всегда можно выделить прямую линию (ряд), проходящую через начало координат. Тогда направление прямой линии определится двумя точками: началом координат и любым узлом ряда.

Индексы направления (прямой линии) – три простых числа [mnp], взятые в квадратные скобки. Эти числа характеризуют положение ближайшего узла, лежащего на прямой линии, проходящей через начало координат.

 

        

Рис. 1.20.Миллеровские индексы узлов

 

Проходящая сквозь узлы прямая, а также ребро кристаллического многогранника имеют наклон в выбранной системе координат. В целом плоские сет­ки в пространственной решётке и соответствующие им грани кристаллического многогранника имеют наклон в системе координат.

Пусть некоторая плоскость решётки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc. Отношение чисел m:n:p характеризует наклон плоскости к осям координат. Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных плоско­стей можно заменить отношением взаимно простых чисел р:q:r. Числа р, q, r называются параметрами Вейса.

Миллеровские индексы плоскости – три простых числа (HKL), записанные в круглых скобках. Индексы плоскости – дополнительные множители к величинам, обратно пропорциональным числу осевых единиц, отсекаемых лю­бой плоскостью данного семейства на координатных осях Х, У, Z.

 

 

Миллеровские индексы опреде­ляются из соотношения чисел р:q:r.

Пусть некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки:

р =1, q = 3, c = 2 (рис. 1.21). Составим отношения:

p:q:c = 1:3:2

 

Общий знаменатель равен 6. Дополнительные множители: H = 6, K = 2, L = 3.

Миллеровские индексы данной плоскости (623).

Рис.1.21. Индексы плоскости(623)

 

Межплоскостное расстояние – это расстояние между параллельными плоскостями, содержащими одинаковое количество атомов. Чем больше индексы H, K, L, тем меньше расстояние между плоскостями. Для кубического кристалла межплоскостное расстояние d для параллельных плоскостей с одинаковыми индексами выражаются через индексы этих плоскостей соотношением:

                                  

а– постоянная решётки.

   В 1819 г. Гаюи сформулировал закон целых чисел (теперь закон Гаюи): для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению малых чисел. На кристаллографическом многограннике образуются лишь такие грани, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и еди­ничной гранью на трёх рёбрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению целых небольших простых чисел.

 

   Грани, для которых отношение р:q:r является иррациональным, в реальном кристалле невозможны. Наклон всякой грани можно определить тремя целыми числами, если за оси координат выбрать направление трёх рёбер кристалла, а за параметры – отрезки, отсекае­мые на этих осях данной гранью.