Рассмотрим теперь случай, когда функция непрерывна на промежутке , а в точке терпит разрыв второго рода. В этом случае введение определенного интеграла на отрезке как предела интегральной суммы также невозможно. Дело в том, что отрезок разбить на частичных отрезков можно, но в этом случае первая частичная трапеция будет иметь бесконечную высоту и ее площадь вычислить невозможно. Однако, как и в случае с бесконечным интервалом интегрирования, здесь также существует выход. Необходимо искать площадь трапеции, левый конец основания которой приближается к точке .
Определение. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции и обозначается .
Следовательно, вычисление несобственного интеграла от разрывной функции связано с нахождением предела:
.
Так же как и в предыдущем параграфе, если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл от разрывной функции равен площади криволинейной трапеции, у которой в какой-то точке высота равна бесконечности.
Если функция терпит разрыв в точке , то
.
Если же разрыв происходит в точке , то есть внутри , то в этом случае
.
В последнем случае несобственный интеграл существует (или сходится), если сходятся оба интеграла.
Так же как и несобственный интеграл с бесконечными пределами, данный интеграл тоже не является пределом -ой интегральной суммы, а пределом определенного интеграла.
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим пример, используемый при решении других задач.
Если в этом интеграле , то и поэтому . Следовательно, в этом случае .
Если , то . В этом случае и интеграл расходится. Аналогичный результат получается и в том случае, когда . Действительно,
.
Таким образом, рассмотренный интеграл расходится при и сходится при .